Решение: Сечение прямоугольного параллелепипеда
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ через середину $M$ диагонали $AC_1$ проведена плоскость $\alpha$, перпендикулярная этой диагонали. $AB=5$, $BC=3$, $AA_1=4$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ содержит точку $D_1$.
б) Найдите отношение, в котором плоскость $\alpha$ делит ребро $A_1B_1$.
Решение по шагам
9 шаговВведём прямоугольную систему координат: $A(0,0,0)$, ось $Ox$ направим вдоль $AB$, ось $Oy$ — вдоль $AD$, ось $Oz$ — вдоль $AA_1$. Тогда $B(5,0,0)$, $D(0,3,0)$, $A_1(0,0,4)$, $C_1(5,3,4)$.
Найдём координаты середины диагонали $AC_1$ и направляющий вектор этой диагонали:
$$M\left(\frac{5}{2},\frac{3}{2},2\right),\quad \overrightarrow{AC_1}=(5,3,4)$$Так как плоскость $\alpha$ перпендикулярна диагонали $AC_1$, вектор $\overrightarrow{AC_1}$ является нормальным вектором плоскости $\alpha$. Поэтому уравнение плоскости, проходящей через $M$, имеет вид:
$$5\left(x-\frac{5}{2}\right)+3\left(y-\frac{3}{2}\right)+4(z-2)=0$$Проверим, принадлежит ли точка $D_1(0,3,4)$ плоскости $\alpha$:
$$5\left(0-\frac{5}{2}\right)+3\left(3-\frac{3}{2}\right)+4(4-2)=-\frac{25}{2}+\frac{9}{2}+8=0$$Следовательно, точка $D_1$ удовлетворяет уравнению плоскости $\alpha$, то есть $D_1\in\alpha$.
Пусть плоскость $\alpha$ пересекает ребро $A_1B_1$ в точке $P$. Так как на ребре $A_1B_1$ координаты $y=0$ и $z=4$, обозначим $P(x,0,4)$.
Подставим координаты точки $P$ в уравнение плоскости:
$$5\left(x-\frac{5}{2}\right)+3\left(0-\frac{3}{2}\right)+4(4-2)=0$$Решая полученное уравнение, находим координату точки пересечения:
$$5x-\frac{25}{2}-\frac{9}{2}+8=0,\quad 5x=9,\quad x=\frac{9}{5}$$Длина ребра $A_1B_1$ равна $5$. Поэтому $A_1P=\frac{9}{5}$, а $PB_1=5-\frac{9}{5}=\frac{16}{5}$. Следовательно, искомое отношение:
$$A_1P:PB_1=\frac{9}{5}:\frac{16}{5}=9:16$$Плоскость $\alpha$ содержит точку $D_1$; если $P=\alpha\cap A_1B_1$, то $A_1P:PB_1=9:16$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно выбирают нормальный вектор плоскости, используя вектор, лежащий в плоскости.
Забывают, что координаты всех точек ребра $A_1B_1$ имеют вид $(x,0,4)$.
Вместо отношения отрезков $A_1P:PB_1$ записывают координату точки пересечения.
Ошибаются при вычислении координат середины диагонали $AC_1$.