Решение: Подсчёт чисел по условиям
Рассматривается множество целых чисел, принадлежащих числовому отрезку [14 014; 49 635], остаток от деления которых на 13 равен 5, и при этом они не делятся ни на 5, ни на 11. Найдите количество таких чисел и максимальное из них.
В ответе запишите два целых числа: сначала количество, затем максимальное число. Для выполнения этого задания можно написать программу или воспользоваться редактором электронных таблиц.
Решение по шагам
7 шаговЗапишем числа с остатком 5 при делении на 13 в виде $n = 13k + 5$. Из условий отрезка получаем диапазон значений $k$:
$$1078 \leq k \leq 3817$$Общее количество значений $k$ равно:
$$3817 - 1078 + 1 = 2740$$Условие делимости на 5: $13k+5$ делится на 5 тогда и только тогда, когда $k$ кратно 5. В заданном диапазоне таких значений 548.
Условие делимости на 11: $13k+5 \equiv 2k+5 \pmod{11}$. Поэтому $k \equiv 3 \pmod{11}$. В диапазоне таких значений 249.
Одновременно на 5 и на 11 делятся значения, для которых $k \equiv 25 \pmod{55}$. Таких значений 49.
По формуле включений и исключений количество подходящих чисел равно:
$$2740 - 548 - 249 + 49 = 1992$$Максимальное значение достигается при наибольшем подходящем $k$. При $k=3817$ число делится на 11, поэтому берём $k=3816$:
$$13 \cdot 3816 + 5 = 49613$$Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать границы отрезка при определении диапазона $k$.
Забыть прибавить пересечение множеств при использовании принципа включений и исключений.
Взять число для $k=3817$, хотя оно делится на 11.