Решение: Точки внутри объединения фигур
Исполнитель Черепаха действует на плоскости с декартовой системой координат. В начальный момент Черепаха находится в начале координат, её голова направлена вдоль положительного направления оси ординат, хвост опущен.
При опущенном хвосте Черепаха оставляет на поле след в виде линии. Команды «Вперёд n» и «Назад n» перемещают Черепаху на n единиц в направлении головы или противоположном ему направлении соответственно. Команды «Направо m» и «Налево m» изменяют направление движения на m градусов по часовой или против часовой стрелки. Запись «Повтори k [Команда1 Команда2 … КомандаS]» означает, что последовательность из S команд повторится k раз.
Черепахе был дан для исполнения следующий алгоритм:
Повтори 2 [Вперёд 1 Направо 90 Назад 16 Направо 90]
Поднять хвост
Назад 7 Направо 90 Назад 10 Налево 90
Опустить хвост
Повтори 2 [Вперёд 17 Направо 90 Вперёд 7 Направо 90]
Определите, сколько точек с целочисленными координатами будут находиться внутри объединения фигур, ограниченного заданными алгоритмом линиями, включая точки на линиях.
Решение по шагам
5 шаговПосле первой команды Повтори Черепаха возвращается в начало координат и рисует прямоугольник с вершинами $(0,0)$, $(0,1)$, $(-16,1)$ и $(-16,0)$. Его диапазоны координат: $-16 \leq x \leq 0$, $0 \leq y \leq 1$.
После перемещения с поднятым хвостом Черепаха оказывается в точке $(-10,-7)$ и затем рисует второй прямоугольник с вершинами $(-10,-7)$, $(-10,10)$, $(-3,10)$ и $(-3,-7)$. Его диапазоны координат: $-10 \leq x \leq -3$, $-7 \leq y \leq 10$.
В первом прямоугольнике находится $17 \cdot 2 = 34$ целочисленные точки, во втором — $8 \cdot 18 = 144$ точки.
$$N_1=(0-(-16)+1)(1-0+1)=17\cdot2=34,\quad N_2=(-3-(-10)+1)(10-(-7)+1)=8\cdot18=144$$Пересечение прямоугольников имеет диапазоны $-10 \leq x \leq -3$ и $0 \leq y \leq 1$, поэтому содержит $8 \cdot 2 = 16$ точек. Эти точки нужно вычесть один раз.
$$N_{\cap}=8\cdot2=16$$Количество точек в объединении равно сумме количеств точек в прямоугольниках без их пересечения.
$$N=34+144-16=162$$Где здесь ошибаются
Не учитывать точки на границах прямоугольников.
Посчитать точки пересечения дважды.
Забыть, что при подсчёте целых координат длина отрезка увеличивается на одну точку.