Решение: Поразрядная конъюнкция и логика
Обозначим через $m \mathbin{\&} n$ поразрядную конъюнкцию неотрицательных целых чисел $m$ и $n$. Так, например, $14 \mathbin{\&} 5 = 1110_2 \mathbin{\&} 0101_2 = 0100_2 = 4$. Для какого наименьшего неотрицательного целого числа $A$ формула $((x \mathbin{\&} 52 \ne 0) \land (x \mathbin{\&} 36 = 0)) \to \neg(x \mathbin{\&} A = 0)$ тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом неотрицательном целом значении переменной $x$?
Решение по шагам
3 шагаЗапишем числа 52 и 36 в двоичной системе:
$$52 = 110100_2, \quad 36 = 100100_2$$Условие $x \mathbin{\&} 36 = 0$ запрещает единицы в разрядах $2^2$ и $2^5$ числа $x$. Поэтому из условия $x \mathbin{\&} 52 \ne 0$ может выполняться только единичность разряда $2^4$.
$$52 = 2^5 + 2^4 + 2^2, \quad 36 = 2^5 + 2^2$$Следовательно, для любого подходящего $x$ выполняется $x \mathbin{\&} 16 \ne 0$. Число 16 минимально, поскольку оно содержит только необходимый разряд $2^4$.
$$A = 2^4 = 16$$Где здесь ошибаются
Ошибочно учитывать разряды $2^2$ и $2^5$, которые запрещены условием $x \mathbin{\&} 36 = 0$.
Выбирать число, содержащее лишние единичные разряды, вместо минимального числа $16$.