Решение: Числовая маска и делимость
Назовём маской числа последовательность цифр, в которой также могут встречаться следующие символы: символ «?» означает ровно одну произвольную цифру; символ «*» означает любую последовательность цифр произвольной длины, в том числе «*» может задавать и пустую последовательность. Например, маске 123*4?5 соответствуют числа 123405 и 12300405.
Среди натуральных чисел, не превышающих $10^9$, найдите все числа, соответствующие маске 12345?7?8, делящиеся на число 31 без остатка.
Решение по шагам
5 шаговЗапишем число, соответствующее маске 12345?7?8, через цифры $a$ и $b$:
$$N = 123450708 + 1000a + 10b$$Найдём остаток постоянной части при делении на 31:
$$123450708 = 31 \cdot 3982280 + 28$$Так как $1000 \equiv 8 \pmod{31}$ и $10 \equiv 10 \pmod{31}$, условие делимости принимает вид:
$$28 + 8a + 10b \equiv 0 \pmod{31}$$Перебор цифр $a$ и $b$ от 0 до 9 даёт пары $(2,8)$, $(3,1)$ и $(7,4)$.
Получаем числа и выполняем деление на 31:
$$123452788 : 31 = 3982348;\quad 123453718 : 31 = 3982377;\quad 123457748 : 31 = 3982507$$123452788 3982348; 123453718 3982377; 123457748 3982507
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно разрядить цифры маски и перепутать множители для неизвестных цифр.
Не проверить все пары цифр от 0 до 9.
Записать найденные числа не в порядке возрастания.
Ошибиться при делении найденных чисел на 31.