Шешімі: Цепочка логических равенств
Сколько существует различных наборов значений логических переменных $x_1, x_2, \ldots, x_8, y_1, y_2, \ldots, y_8$, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?
$\neg(x_1 \equiv y_1) \equiv (x_2 \equiv y_2)$
$\neg(x_2 \equiv y_2) \equiv (x_3 \equiv y_3)$
$\ldots$
$\neg(x_7 \equiv y_7) \equiv (x_8 \equiv y_8)$
Шешім по шагам
4 қадамВведём обозначения $a_i = (x_i \equiv y_i)$. Тогда каждое условие имеет вид $\neg a_i \equiv a_{i+1}$, то есть соседние значения чередуются.
$$a_{i+1} = \neg a_i$$Последовательность $a_1, a_2, \ldots, a_8$ полностью определяется значением $a_1$. Поэтому возможны ровно две последовательности: начинающаяся с 0 и начинающаяся с 1.
$$2$$При каждом фиксированном значении $a_i$ пара $(x_i, y_i)$ может иметь два набора значений: при $a_i = 1$ значения равны, а при $a_i = 0$ значения различны.
$$2^8$$Общее количество наборов равно произведению числа последовательностей значений $a_i$ на число вариантов выбора пар переменных.
$$2 \cdot 2^8 = 512$$Где здесь ошибаются
Считать, что для каждой пары $(x_i, y_i)$ существует только один набор значений.
Забыть учесть два возможных значения первого элемента последовательности.
Принять эквивалентность за равенство соседних значений, не учитывая отрицание.