Ответ: Высота броска шарика
Начальная высота должна быть равна $4\ \text{м}$.
У этого задания официального ключа нет, поэтому ответ получен в разборе и с ключом не сверен. Перед тем как заучивать результат, пройдите выкладки — там видно, откуда взялось каждое число.
С какой высоты относительно поверхности Земли нужно бросить шарик вертикально вниз со скоростью $20\ \text{м/с}$, чтобы после удара о Землю он поднялся на высоту, в три раза большую начальной, если в процессе удара теряется 50 % механической энергии шара? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Где здесь ошибаются
Не учитывать начальную кинетическую энергию шарика.
Считать, что после удара сохраняется 50 % энергии, а не теряется 50 %.
Приравнивать энергию после удара к $mgh$, не учитывая, что шарик поднимается на высоту $3h$.
Использовать разные значения высоты до и после удара без связи $H=3h$.