Решение: Высота броска шарика
С какой высоты относительно поверхности Земли нужно бросить шарик вертикально вниз со скоростью $20\ \text{м/с}$, чтобы после удара о Землю он поднялся на высоту, в три раза большую начальной, если в процессе удара теряется 50 % механической энергии шара? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение по шагам
4 шагаОбозначим начальную высоту шарика над Землёй через $h$. До броска шарик имеет потенциальную энергию $mgh$ и кинетическую энергию $\dfrac{mv_0^2}{2}$. Поэтому непосредственно перед ударом его механическая энергия равна:
$$E_1=mgh+\dfrac{mv_0^2}{2}$$При ударе теряется 50 % механической энергии, следовательно, после удара сохраняется половина энергии, которой шарик обладал перед ударом. При подъёме на высоту $3h$ кинетическая энергия шарика становится равной нулю, а вся оставшаяся энергия является потенциальной:
$$E_2=3mgh=0{,}5\left(mgh+\dfrac{mv_0^2}{2}\right)$$Сократим массу шарика и решим полученное уравнение относительно $h$:
$$3gh=0{,}5gh+0{,}25v_0^2;\quad 2{,}5gh=0{,}25v_0^2;\quad h=\dfrac{v_0^2}{10g}$$Подставим значения $v_0=20\ \text{м/с}$ и $g=10\ \text{м/с}^2$:
$$h=\dfrac{20^2}{10\cdot10}=4\ \text{м}$$Начальная высота должна быть равна $4\ \text{м}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать начальную кинетическую энергию шарика.
Считать, что после удара сохраняется 50 % энергии, а не теряется 50 %.
Приравнивать энергию после удара к $mgh$, не учитывая, что шарик поднимается на высоту $3h$.
Использовать разные значения высоты до и после удара без связи $H=3h$.