Теплообмен при контакте тел
При контакте тел с разной температурой энергия передаётся от более горячего тела к более холодному, пока температуры не станут одинаковыми. Чтобы решить такую задачу, нужно определить количество теплоты для каждого тела, учесть направление теплообмена и составить уравнение теплового баланса.
Что происходит при контакте тел
Количество теплоты \(Q\) — энергия, которую тело получает или отдаёт при теплообмене. Если горячее тело соприкасается с холодным, горячее тело остывает, а холодное нагревается. В идеальной задаче потери энергии в окружающую среду и нагрев сосуда не учитываются.
Тепловое равновесие — состояние, при котором соприкасающиеся тела имеют одинаковую конечную температуру \(t\). При этом направленный теплообмен между ними прекращается.
Конечная температура обычно обозначается \(t\) немесе \(t_{\text{к}}\). Она лежит между начальной температурой горячего тела \(t_\text{г}\) и начальной температурой холодного тела \(t_\text{х}\): \(t_\text{х} < t < t_\text{г}\). Если температуры заданы в градусах Цельсия, для расчёта разности температур можно использовать именно градусы Цельсия: изменение на \(1\,^{\circ}\mathrm{C}\) равно изменению на \(1\,\mathrm{K}\).
Количество теплоты для нагревания и охлаждения
В задачах без плавления, кипения и других превращений вещества количество теплоты находят по формуле, изученной на странице «Количество теплоты». Оно зависит от массы тела, его удельной теплоёмкости и изменения температуры.
Здесь \(c\) — удельная теплоёмкость вещества, \(m\) — масса тела, \(t_{\text{н}}\) — начальная температура, \(t_{\text{к}}\) — конечная температура. Единица измерения \(Q\) — джоуль (Дж), \(m\) измеряется в килограммах, \(c\) — в \(\mathrm{Дж/(кг\cdot{}^{\circ}C)}\).
Если тело нагревается, то \(t_{\text{к}} > t_{\text{н}}\) и \(Q>0\). Если тело остывает, то \(t_{\text{к}} < t_{\text{н}}\) и \(Q<0\), если использовать формулу со знаком изменения температуры. В школьных задачах часто записывают положительные количества теплоты отдельно: \(Q_{\text{получ}}=cm(t-t_{\text{н}})\) и \(Q_{\text{отд}}=cm(t_{\text{г}}-t)\).
Полученное телом количество теплоты считают положительным, а отданное — положительным по модулю, если используют отдельные выражения \(Q_{\text{получ}}\) и \(Q_{\text{отд}}\). В уравнении теплового баланса эти величины приравнивают: полученная теплота равна отданной.
Уравнение теплового баланса
Тепловой баланс — равенство энергии, отданной одними телами, и энергии, полученной другими телами. Для двух тел, если горячее тело остывает, а холодное нагревается, уравнение имеет вид:
В этой жазбалар \(t_1\) — начальная температура горячего тела, \(t_2\) — начальная температура холодного тела, \(t\) — общая конечная температура. Индексы 1 и 2 можно назначать телам иначе, но необходимо сохранять соответствие массы, теплоёмкости и температуры одного и того же тела.
В замкнутой системе алгебраическая сумма количеств теплоты равна нулю: \(Q_1+Q_2+\ldots=0\). Для двух тел это можно записать как \(c_1m_1(t-t_1)+c_2m_2(t-t_2)=0\).
Формула позволяет найти не только количество теплоты, но и конечную температуру. Если оба тела состоят из одного вещества, их удельные теплоёмкости одинаковы и сокращаются.
Из этой формулы видно: конечная температура является средневзвешенной начальных температур. Поэтому она не может быть ниже самой низкой и выше самой высокой начальной температуры.
Железный брусок с температурой \(100\,^{\circ}\mathrm{C}\) опустили в воду с температурой \(20\,^{\circ}\mathrm{C}\). Какое выражение соответствует теплоте, отданной бруском при конечной температуре \(t\)?
Алгоритм шешімдер тапсырма
- Запишите, какие тела участвуют в теплообмене, и определите, какое из них горячее, а какое холодное.
- Выпишите известные величины в СИ: массу переведите в килограммы, а удельную теплоёмкость возьмите в \(\mathrm{Дж/(кг\cdot{}^{\circ}C)}\).
- Обозначьте общую конечную температуру через \(t\) или найдите её из условия.
- Для горячего тела запишите \(Q_{\text{отд}}=c_\text{г}m_\text{г}(t_\text{г}-t)\).
- Для холодного тела запишите \(Q_{\text{получ}}=c_\text{х}m_\text{х}(t-t_\text{х})\).
- Приравняйте отданную и полученную теплоты, решите уравнение и проверьте, что конечная температура лежит между начальными.
Разобранный пример
В воду массой \(0{,}20\,\mathrm{кг}\) при температуре \(20\,^{\circ}\mathrm{C}\) опустили алюминиевый брусок массой \(0{,}10\,\mathrm{кг}\), нагретый до \(80\,^{\circ}\mathrm{C}\). Потерями теплоты пренебречь. Найдите конечную температуру. \(c_\text{воды}=4200\,\mathrm{Дж/(кг\cdot{}^{\circ}C)}\), \(c_\text{Al}=900\,\mathrm{Дж/(кг\cdot{}^{\circ}C)}\).
В этом примере вода имеет большую теплоёмкость всего тела \(cm\): для воды это \(840\,\mathrm{Дж/^{\circ}C}\), а для алюминия — \(90\,\mathrm{Дж/^{\circ}C}\). Поэтому конечная температура оказалась ближе к начальной температуре воды.
Когда уравнение меняется
Если учитывается нагрев сосуда, его также включают в правую часть уравнения как отдельное тело: \(c_\text{сос}m_\text{сос}(t-t_\text{сос})\). Если сосуд и жидкость первоначально имели одну температуру, их теплоты можно объединить.
При плавлении, кристаллизации, кипении или конденсации одной формулы \(Q=cm\Delta t\) недостаточно. Нужно добавить теплоту фазового перехода: \(Q=\lambda m\) для плавления или кристаллизации, \(Q=Lm\) для парообразования или конденсации. Если процесс состоит из нескольких этапов, количества теплоты складывают.
1. Приравнивают \(cm(t_\text{г}-t)\) к \(cm(t_\text{х}-t)\): у нагрева холодного тела должна быть разность \(t-t_\text{х}\). 2. Забывают перевести граммы в килограммы. 3. Используют теплоёмкость одного вещества для другого. 4. Получают конечную температуру выше температуры горячего тела или ниже температуры холодного — это признак ошибки в знаках или вычислениях. 5. Считают, что при контакте тела мгновенно получают одинаковую начальную температуру; одинаковой становится только конечная температура после теплообмена.
Перед составлением уравнения сделайте короткую таблицу: тело, \(m\), \(c\), начальная температура, получает или отдаёт теплоту. Это помогает не перепутать температуры и коэффициенты.
Проверь себя
Главное
- При контакте энергия переходит от горячего тела к холодному до установления общей температуры.
- Количество теплоты при изменении температуры вычисляют по формуле \(Q=cm\Delta t\).
- Для двух тел без потерь используют уравнение \(Q_{\text{отд}}=Q_{\text{получ}}\).
- В жазбалар с конечной температурой: \(c_1m_1(t_1-t)=c_2m_2(t-t_2)\).
- Конечная температура должна находиться между начальными температурами; это обязательная проверка ответа.
- При нагреве сосуда или фазовом переходе соответствующие количества теплоты добавляют в общий баланс.