Оқылым графика
График превращает зависимость между величинами в наглядный рисунок. Чтобы решить задание, нужно правильно определить оси и масштаб, найти точку или промежуток, а затем точно прочитать её координаты.
1. Что показывает график
Обычно по горизонтальной оси откладывают независимую величину \(x\), а по вертикальной — зависимую величину \(y\) немесе \(f(x)\). Каждая точка графика имеет координаты \((x; y)\): первое число читают по оси \(x\), второе — по оси \(y\).
График функции — множество точек на координатной плоскости, координаты которых связаны равенством \(y=f(x)\). Для каждого допустимого значения \(x\) график показывает соответствующее значение \(y\).
- Проверьте, что подписано на каждой оси и в каких единицах измеряются величины.
- Определите цену бір деления: сколько единиц приходится на маленький промежуток шкалы.
- Уточните, где находятся начало координат и положительные направления осей.
- Посмотрите, какие значения действительно отмечены графиком: иногда он начинается не в точке \(x=0\).
Если требуется найти значение функции при известном \(x\), двигайтесь от этого значения вертикально до графика, а затем — горизонтально к оси \(y\). Если дано значение \(y\), действуйте наоборот: от оси \(y\) двигайтесь горизонтально до графика, затем вертикально к оси \(x\).
Запомните направление поиска: \(x\to y\) — сначала вертикаль, затем горизонталь; \(y\to x\) — сначала горизонталь, затем вертикаль. Не перепутайте координаты точки: \((x;y)\), а не \((y;x)\).
2. Значения, нули и точки пересечения
Чтобы найти \(f(a)\), найдите на оси \(x\) число \(a\), проведите через него вертикаль до графика и считайте ординату полученной точки. Если график проходит через точку \((a;b)\), то \(f(a)=b\).
Нулём функции называют такое значение \(x\), при котором \(f(x)=0\). На графике нули находятся в точках пересечения графика с осью \(x\). Точки пересечения с осью \(y\) имеют абсциссу \(x=0\), поэтому их координаты имеют вид \((0;f(0))\).
Отметьте все точки, в которых график пересекает или касается оси \(x\). Их абсциссы являются нулями функции. Если график не имеет общих точек с осью \(x\), нулей нет.
В задании может требоваться определить, при каких \(x\) функция положительна или отрицательна. Функция положительна там, где график расположен выше оси \(x\): \(f(x)>0\). Она отрицательна там, где график расположен ниже оси \(x\): \(f(x)<0\).
График пересекает ось \(x\) в точках с абсциссами \(-2\) и \(5\). Что можно утверждать?
3. Промежутки и изменение функции
Промежуток — часть оси \(x\), на которой рассматривают поведение функции. Границы промежутка могут быть заданы числами, например \([1;4]\), или словами: «при \(x\) от 2 до 6», «на отрезке», «на интервале».
Функция возрастает на промежутке, если при движении слева направо по графику значения \(y\) увеличиваются. Функция убывает, если значения \(y\) уменьшаются. Горизонтальный участок означает постоянное значение функции.
Читают график слева направо, то есть в направлении увеличения \(x\). Не следует оценивать наклон по крутизне рисунка без учёта масштаба осей: разные масштабы по горизонтали и вертикали могут изменить визуальное впечатление.
На участке графика чем быстрее изменяется \(y\) при изменении \(x\), тем больше модуль отношения \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\). Для более подробного разбора этого отношения см. скорость изменения.
Иногда сұрақ формулируют так: «В какой момент величина увеличивалась?» Тогда по оси \(x\) нужно найти участок, на котором график идёт вверх слева направо. Если ось \(x\) обозначает время, ответ записывают в единицах времени.
4. Максимумы, минимумы и значения на отрезке
Максимум функции на рассматриваемом промежутке — наибольшее значение \(y\), которое принимает график. Минимум — наименьшее значение \(y\). Важно всегда учитывать указанный промежуток: максимум на одном отрезке может не быть максимумом на всём графике.
Чтобы найти максимум или минимум на отрезке, мысленно оставьте только часть графика, соответствующую значениям \(x\) от \(a\) до \(b\). Затем сравните самые жоғары и самые низкие точки этой части, включая концы отрезка.
По графику известно: он проходит через точки \((-2;3)\), \((0;1)\) и \((3;-2)\), пересекает ось \(x\) при \(x=-1\) и \(x=2\). Требуется найти \(f(0)\), нули функции и минимум на отрезке \([-2;3]\).
- Сначала используем точку с абсциссой \(0\). Её ордината равна значению функции. — f(0)=1
- Нули функции находятся в точках пересечения графика с осью \(x\). По условию их абсциссы равны \(-1\) и \(2\). — f(x)=0 при x=-1 и x=2
- На отрезке \([-2;3]\) сравниваем значения графика. Самая низкая указанная точка имеет ординату \(-2\) при \(x=3\). — y_=-2
Жауабы: \(f(0)=1\); нули функции — \(-1\) и \(2\); минимум на отрезке \([-2;3]\) равен \(-2\). Если спрашивают точку минимума, ответ будет \((3;-2)\), а если спрашивают значение минимума, ответ — \(-2\).
1. Путают максимум функции с абсциссой точки максимума: максимум — это значение \(y\). 2. Не учитывают концы заданного отрезка. 3. Считают нулём точку пересечения с осью \(y\), хотя нули находятся на оси \(x\). 4. Читают деления без проверки масштаба. 5. Округляют значение, хотя по графику оно читается точно.
5. Универсальный алгоритм чтения графика
- Прочитайте условие и определите, какую величину нужно найти: значение, аргумент, ноль, промежуток, максимум или минимум.
- Проверьте обозначения осей, единицы измерения и цену деления.
- Найдите нужную координату или ограничьте график заданным промежутком.
- Проведите мысленные вертикальные или горизонтальные желілер и считайте вторую координату.
- Запишите ответ с единицами измерения, если они указаны в условии.
- Проверьте ответ: он должен соответствовать положению точки и масштабу графика.
График может быть частью более сложного представления данных. Если значения сначала приведены в таблице, полезно обратиться к интерпретации таблицы. При сравнении величин и переходе от бір вида данных к другому помогает преобразование информации.
Быстрая проверка
Главное
- Точка графика \((x;y)\) показывает, что \(f(x)=y\).
- Для поиска значения при известном \(x\) используют направление «вертикаль — горизонталь».
- Нули функции — абсциссы точек пересечения графика с осью \(x\).
- Максимум и минимум определяют по ординатам и только на указанном промежутке, включая его концы.
- Перед чтением графика всегда проверяйте оси, масштаб, единицы измерения и требуемый вид ответа.