Решение задач на фотоэффект
Задачи на фотоэффект сводятся к энергетическому балансу: энергия фотона расходуется на работу выхода электрона из металла и его максимальную кинетическую энергию. Если электроны останавливаются электрическим полем, их кинетическая энергия связана с задерживающим напряжением.
Физический смысл фотоэффекта
Фотоэффект — это испускание электронов веществом под действием света. Свет можно рассматривать как поток фотонов. Каждый фотон передаёт одному электрону энергию, зависящую от частоты излучения: чем больше частота, тем больше энергия фотона.
Фотон — квант электромагнитного излучения с энергией \(E_\text{ф}=h\nu\). Работа выхода \(A_\text{вых}\) — минимальная энергия, необходимая для удаления электрона из металла. Максимальная кинетическая энергия \(E_{k\,\max}\) — наибольшая энергия вылетевших электронов.
Частоту и длину волны связывает формула \(\nu=\frac{c}{\lambda}\), где \(c\) — скорость света в вакууме. Поэтому энергию фотона можно вычислять двумя равносильными способами: через частоту или через длину волны.
В расчётах обычно используют \(h=6{,}63\cdot10^{-34}\ \text{Дж·с}\), \(c=3\cdot10^8\ \text{м/с}\) и заряд электрона \(e=1{,}6\cdot10^{-19}\ \text{Кл}\). Энергии удобно выражать в электронвольтах: \(1\ \text{эВ}=1{,}6\cdot10^{-19}\ \text{Дж}\). Подробнее единица разобрана на странице электронвольт.
Уравнение Эйнштейна и порог фотоэффекта
Согласно уравнению Эйнштейна для фотоэффекта, энергия фотона сохраняется: часть энергии совершает работу выхода, а оставшаяся часть превращается в кинетическую энергию электрона.
Фотоэффект возможен только тогда, когда энергии фотона достаточно для выхода электрона: \(h\nu\ge A_\text{вых}\). Минимальная частота, при которой фотоэффект ещё начинается, называется красной границей фотоэффекта.
Если \(\nu<\nu_0\) или \(\lambda>\lambda_0\), фотоэффекта нет. Если \(\nu\ge\nu_0\) или \(\lambda\le\lambda_0\), фотоэффект возможен. Увеличение интенсивности света повышает число выбитых электронов, но не максимальную энергию каждого электрона.
Как изменится максимальная кинетическая энергия электронов, если при неизменном металле увеличить интенсивность света, не изменяя его частоту?
Задерживающее напряжение
Чтобы измерить максимальную кинетическую энергию электронов, между электродами создают поле, тормозящее их движение. Минимальное напряжение, при котором даже самые быстрые электроны не достигают противоположного электрода, называют задерживающим напряжением \(U_з\).
Из этих формул можно найти любую неизвестную величину. Например, \(U_з=\frac{h\nu-A_\text{вых}}{e}\), \(A_\text{вых}=h\nu-eU_з\), а \(\nu=\frac{A_\text{вых}+eU_з}{h}\). Если энергия дана в электронвольтах, численное значение энергии электрона в эВ равно численному значению напряжения в вольтах: \(E_k[\text{эВ}]=U_з[\text{В}]\).
1. Переведите длину волны в метры, а энергию — в согласованные единицы. 2. Найдите энергию фотона \(E_\text{ф}=hc/\lambda\) или \(h\nu\). 3. Вычтите работу выхода. 4. Если требуется напряжение, разделите результат на \(e\). 5. Проверьте знак: при фотоэффекте \(E_\text{ф}-A_\text{вых}\ge0\).
Разобранный пример
На металлическую пластинку падает свет с длиной волны \(\lambda=400\ \text{нм}\). Работа выхода металла \(A_\text{вых}=2{,}0\ \text{эВ}\). Найдите максимальную кинетическую энергию электронов и задерживающее напряжение.
Ответ: \(E_{k\,\max}\approx1{,}1\ \text{эВ}\), \(U_з\approx1{,}1\ \text{В}\). В джоулях кинетическая энергия равна примерно \(1{,}76\cdot10^{-19}\ \text{Дж}\).
Графики и типичные зависимости
При фиксированном металле работа выхода постоянна. Поэтому зависимость максимальной кинетической энергии от частоты — линейная: \(E_{k\,\max}=h\nu-A_\text{вых}\). Наклон графика равен постоянной Планка, а пересечение с осью частот даёт красную границу \(\nu_0\).
Не путайте частоту и длину волны: при увеличении \(\lambda\) энергия фотона уменьшается. Не прибавляйте работу выхода к кинетической энергии при поиске энергии фотона — нужно \(E_\text{ф}=A_\text{вых}+E_k\). Не используйте полную кинетическую энергию вместо максимальной: у разных электронов энергии различны, а задерживающее напряжение определяется самыми быстрыми. Следите за приставками: \(1\ \text{нм}=10^{-9}\ \text{м}\).
В задачах могут спрашивать не только энергию электрона, но и частоту, длину волны, красную границу или работу выхода. Все эти величины находятся из той же цепочки: \(E_\text{ф}=h\nu=hc/\lambda\) и \(E_\text{ф}=A_\text{вых}+eU_з\). Не следует смешивать фотоэффект с задачами на эффект Комптона: там рассматривают изменение длины волны фотона при рассеянии.
Быстрая проверка
Главное
- Энергия фотона определяется формулой \(E_\text{ф}=h\nu=hc/\lambda\).
- Уравнение Эйнштейна: \(h\nu=A_\text{вых}+E_{k\,\max}\).
- Максимальная кинетическая энергия связана с задерживающим напряжением: \(E_{k\,\max}=eU_з\).
- Фотоэффект возможен, если \(h\nu\ge A_\text{вых}\); пороговые величины задаются \(\nu_0=A_\text{вых}/h\) и \(\lambda_0=hc/A_\text{вых}\).
- Интенсивность меняет число вылетающих электронов, а частота — энергию каждого фотона и максимальную энергию электронов.