Энергия колебательной системы

При идеальных свободных колебаниях энергия не исчезает: она периодически переходит из потенциальной в кинетическую и обратно. На этой странице разберём, как находить скорость, смещение, амплитуду и полную энергию колебательной системы.

1. Полная энергия при колебаниях

Рассмотрим груз на пружине или математический маятник при малых колебаниях. Если сопротивлением воздуха и трением можно пренебречь, система совершает свободные колебания, а её механическая энергия сохраняется. Это частный случай закона сохранения энергии при колебаниях.

Для груза на пружине потенциальная энергия деформации зависит от удлинения или сжатия \(x\). Для математического маятника при небольших отклонениях удобно рассматривать потенциальную энергию подъёма относительно нижнего положения. В задачах важно выбрать нулевой уровень потенциальной энергии: изменение этого уровня меняет \(E_p\), но не меняет физический результат.

2. Как энергия переходит из одной формы в другую

В крайнем положении скорость груза равна нулю, поэтому кинетическая энергия также равна нулю. Вся энергия находится в потенциальной форме. При движении к положению равновесия потенциальная энергия уменьшается, а скорость и кинетическая энергия увеличиваются.

• Крайнее положение: \(v=0\), \(E_k=0\), потенциальная энергия максимальна.
• Положение равновесия: потенциальная энергия минимальна, кинетическая энергия максимальна.
• Промежуточное положение: обе энергии ненулевые, но их сумма постоянна.

Для груза на пружине потенциальная энергия равна \(kx^2/2\), а кинетическая — \(mv^2/2\). Если амплитуда равна \(A\), то в крайней точке \(x=A\), а полная энергия равна энергии деформации пружины.

Следовательно, в произвольный момент движения груза на пружине выполняется соотношение

Из него можно находить скорость или координату без использования уравнения колебаний. Например, скорость в точке \(x\) определяется формулой

3. Доли кинетической и потенциальной энергии

Для пружинного маятника удобно сравнивать энергии с полной энергией. Подставим выражения \(E=kA^2/2\) и \(E_p=kx^2/2\).

Если \(|x|=A/2\), то \(E_p/E=1/4\), а \(E_k/E=3/4\). Если кинетическая и потенциальная энергии равны, то \(x^2/A^2=1/2\), поэтому \(|x|=A/\sqrt{2}\). Таких точек в пределах одного колебания четыре.

4. Разобранный пример: скорость в произвольной точке

5. Энергия математического маятника

Для маятника потенциальную энергию можно записать как \(E_p=mgh\), где \(h\) — высота груза над выбранным нулевым уровнем. В крайнем положении скорость равна нулю, поэтому полная энергия равна \(mg h_{\max}\). При переходе к нижнему положению эта энергия превращается в кинетическую.

При малых углах отклонения маятник движется почти гармонически. Тогда его энергию можно выражать через угловую амплитуду и длину маятника, но в большинстве экзаменационных задач достаточно использовать разность высот и закон сохранения энергии. Период и частота при этом связаны с собственной частотой, а измерение параметров маятника рассматривается на странице про определение ускорения свободного падения в опыте с маятником.

6. Когда энергия не сохраняется

В реальной системе действуют силы сопротивления и трения. Часть механической энергии превращается во внутреннюю энергию тела и окружающей среды, поэтому амплитуда постепенно уменьшается. Такое движение называют затухающими колебаниями. Для него равенство \(E_k+E_p=\mathrm{const}\) уже не выполняется: полная механическая энергия убывает.

При внешнем периодическом воздействии система совершает вынужденные колебания. Энергия в этом случае поступает от внешнего источника. При совпадении частот может возникнуть резонанс, когда амплитуда и энергия колебаний резко возрастают; сопротивление ограничивает этот рост.