Основные формулы молекулярно-кинетической теории
Молекулярно-кинетическая теория (МКТ) связывает наблюдаемые макроскопические величины газа с движением его частиц. Эта страница — итоговая памятка: здесь собраны формулы для концентрации, давления, температуры и внутренней энергии идеального газа.
Основные понятия и величины
Постулаты МКТ утверждают, что вещество состоит из частиц, частицы непрерывно и хаотически движутся, а взаимодействие между ними особенно заметно во время столкновений. Для разреженного газа используют модель идеального газа: собственным объёмом молекул и силами притяжения между ними пренебрегают.
Макроскопические величины описывают газ как целое: давление \(p\), объём \(V\), температура \(T\), масса \(m\), количество вещества \(\nu\) и плотность \(\rho\). Они измеряются непосредственно или вычисляются по параметрам газа.
Абсолютную температуру переводят из градусов Цельсия по формуле \(T=t+273\). В точных вычислениях используют \(273{,}15\). Постоянная Больцмана \(k=1{,}38\cdot10^{-23}\ \text{Дж/К}\), постоянная Авогадро \(N_A=6{,}02\cdot10^{23}\ \text{моль}^{-1}\).
Концентрация и количество молекул
Концентрация \(n\) показывает, сколько молекул содержится в единице объёма. Не следует путать её с количеством вещества \(\nu\): концентрация измеряется в \(\text{м}^{-3}\), а количество вещества — в молях.
Отсюда число молекул и объём выражаются так:
Если известно количество вещества, число молекул можно найти через постоянную Авогадро:
При известной массе газа \(m\) и молярной массе \(M\) количество вещества равно \(\nu=\frac{m}{M}\). Поэтому:
Если в условии даны \(N\) и \(V\), сразу используйте \(n=N/V\). Если дана масса газа, сначала найдите \(\nu=m/M\), затем \(N=\nu N_A\).
Давление, скорость и температура
Основное уравнение МКТ связывает давление с концентрацией молекул и средней квадратичной скоростью их движения. Обозначение \(\overline{v^2}\) означает среднее значение квадрата скорости, а не квадрат средней скорости.
Так как \(n=N/V\), эту же зависимость можно записать через число частиц:
Средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы идеального одноатомного газа определяется только абсолютной температурой:
Сравнение формул (5) и (7) даёт ещё две важные записи давления:
Формула (8) особенно удобна, когда известны концентрация и температура. Из неё можно выразить любую величину:
Как изменится давление идеального газа, если концентрацию молекул увеличить в 2 раза, а температуру уменьшить в 2 раза?
Энергия идеального газа
Для одноатомного идеального газа внутренняя энергия равна сумме кинетических энергий всех молекул. Потенциальной энергией взаимодействия в модели идеального газа пренебрегают.
С использованием уравнения состояния идеального газа уравнение состояния идеального газа принимает привычный вид \(pV=\nu RT\), где \(R=kN_A=8{,}31\ \text{Дж/(моль·К)}\). Тогда внутренняя энергия:
Для одноатомного газа изменение внутренней энергии зависит только от изменения температуры:
Формулы \(U=\frac{3}{2}\nu RT\) и \(\Delta U=\frac{3}{2}\nu R\Delta T\) относятся к одноатомному идеальному газу. Для двухатомного и многоатомного газа коэффициент перед \(\nu RT\) может быть другим из-за дополнительных степеней свободы.
Разобранный пример: найти концентрацию и среднюю энергию
В сосуде находится газ под давлением \(p=2{,}76\cdot10^5\ \text{Па}\) при температуре \(T=300\ \text{К}\). Найдите концентрацию молекул и среднюю кинетическую энергию одной молекулы.
Показать решение Решение
Ответ: \(n\approx6{,}7\cdot10^{25}\ \text{м}^{-3}\), \(\overline{E_k}=6{,}21\cdot10^{-21}\ \text{Дж}\).
Как выбирать формулу
| Что дано | Удобная формула | Что найти |
|---|---|---|
| \(N\) и \(V\) | \(n=N/V\) | концентрацию |
| \(p\), \(T\) | \(n=p/(kT)\) | концентрацию |
| \(n\), \(T\) | \(p=nkT\) | давление |
| \(N\), \(T\) | \(U=3NkT/2\) | внутреннюю энергию |
| \(\nu\), \(T\) | \(U=3\nu RT/2\) | внутреннюю энергию |
| \(p\), \(V\) | \(U=3pV/2\) | внутреннюю энергию одноатомного газа |
1. Подстановка температуры в градусах Цельсия вместо кельвинов. 2. Использование \(R\) вместе с числом молекул \(N\): для \(N\) нужна \(k\), а для количества вещества \(\nu\) — \(R\). 3. Потеря множителя \(1/3\) в основном уравнении МКТ. 4. Путаница между \(v^2\) и \(\overline{v^2}\). 5. Применение формулы \(U=3\nu RT/2\) к любому газу без проверки, является ли он одноатомным.
Главная связка темы: \(n=N/V\), \(p=nkT\), \(p=\frac13nm_0\overline{v^2}\), \(\overline{E_k}=\frac32kT\), \(U=\frac32\nu RT\) для одноатомного идеального газа.
Самопроверка
Главное
- Концентрация: \(n=N/V\); число молекул: \(N=\nu N_A\).
- Основное уравнение МКТ: \(p=\frac13nm_0\overline{v^2}\).
- Уравнение идеального газа в молекулярной форме: \(p=nkT\) или \(pV=NkT\).
- Средняя кинетическая энергия одной молекулы: \(\overline{E_k}=\frac32kT\).
- Для одноатомного идеального газа: \(U=\frac32NkT=\frac32\nu RT=\frac32pV\); все температуры в формулах — только в кельвинах.