Основное уравнение молекулярно-кинетической теории

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории объясняет давление газа на микроскопическом уровне: молекулы непрерывно и хаотично движутся, сталкиваются со стенками сосуда и передают им импульс. Давление определяется концентрацией молекул и средней кинетической энергией их поступательного движения.

Для вывода используем постулаты молекулярно-кинетической теории и модель идеального газа. В ней молекулы считаются материальными точками, их собственным объёмом и взаимодействием вне столкновений пренебрегают, а столкновения друг с другом и со стенками считают упругими.

Основные величины и уравнение

Давление \(p\) — физическая величина, равная отношению силы нормального давления к площади поверхности: \(p=\frac{F}{S}\). Концентрация молекул \(n\) — число молекул в единице объёма: \(n=\frac{N}{V}\). Средняя квадратичная скорость характеризует скорости большого числа молекул, а средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы равна \(\overline{E_k}=\frac{m_0\overline{v^2}}{2}\).

Так как \(\overline{E_k}=\frac{m_0\overline{v^2}}{2}\), уравнение можно записать через среднюю кинетическую энергию:

Как возникает давление

Рассмотрим стенку сосуда. При упругом ударе молекула меняет составляющую скорости, перпендикулярную стенке, на противоположную. Поэтому стенка получает импульс. За большое число столкновений переданный импульс создаёт среднюю силу, а отношение этой силы к площади стенки — давление.

В макроскопических величинах давление описывают одним числом, но основное уравнение показывает его молекулярную природу. Скорости отдельных молекул различны, поэтому в формуле используется среднее значение \(\overline{v^2}\), а не квадрат средней скорости \(\overline{v}^{\,2}\). Это разные величины.

Связь с температурой

Для идеального газа средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул связана с абсолютной температурой \(T\). Это содержание связи давления идеального газа и температуры. Постоянная Больцмана обозначается \(k\).

Подставляя эту формулу в уравнение МКТ, получаем:

Поскольку \(n=\frac{N}{V}\), можно получить связь давления с числом молекул и объёмом:

Если использовать количество вещества \(\nu\) и постоянную Авогадро \(N_A\), то \(N=\nu N_A\), а \(kN_A=R\). Тогда получается уравнение Менделеева—Клапейрона: \(pV=\nu RT\). Однако основное уравнение МКТ непосредственно связывает давление именно с движением молекул.

Разбор задачи

В сосуде концентрация молекул газа \(n=2\cdot10^{25}\,\text{м}^{-3}\), масса одной молекулы \(m_0=4\cdot10^{-26}\,\text{кг}\), средняя квадратичная скорость \(v_{\text{кв}}=500\,\text{м/с}\). Найдём давление газа.

Ответ: \(p\approx6{,}7\cdot10^4\,\text{Па}\). Если вместо скорости дана средняя кинетическая энергия, удобнее применить формулу \(p=\frac23n\overline{E_k}\).

Типичные ошибки и алгоритм решения

1. Определите, какие величины известны: \(n\), \(m_0\), \(v_{\text{кв}}\) или \(\overline{E_k}\).
2. Выберите форму уравнения: \(p=\frac13nm_0\overline{v^2}\) либо \(p=\frac23n\overline{E_k}\).
3. Переведите все величины в единицы СИ.
4. Проверьте размерность и порядок результата.

Для связи с последующими вычислениями полезно повторить число молекул, массу одной молекулы и расчёт давления газа. Полный набор соотношений собран на странице основных формул молекулярно-кинетической теории, а подробный вывод — на странице вывода основного уравнения МКТ.