ЕГЭОГЭ
Задание № 8 · ОГЭ

Вывод основного уравнения молекулярно-кинетической теории

Как из движения молекул получить формулу давления идеального газа
6 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории связывает макроскопическое давление газа с микроскопическими характеристиками: массой и скоростями молекул. В результате вывода получаем: давление пропорционально концентрации молекул и их средней кинетической энергии.

Модель идеального газа и исходные предположения

Вывод основан на постулатах молекулярно-кинетической теории. Рассмотрим идеальный газ в сосуде объёма \(V\). В нём находится \(N\) одинаковых молекул массой \(m\). Размеры молекул пренебрежимо малы по сравнению с расстояниями между ними, взаимодействием молекул вне столкновений пренебрегаем, а столкновения молекул со стенками считаем упругими.

D
Концентрация молекул

Концентрация \(n\) — число молекул в единице объёма: \(n=\frac{N}{V}\). Это не массовая плотность: концентрация измеряется в \(\text{м}^{-3}\), а плотность — в \(\text{кг/м}^3\).

T
Изотропность движения

В состоянии равновесия движение молекул равноправно по всем направлениям. Поэтому средние квадраты проекций скорости одинаковы: \(\overline{v_x^2}=\overline{v_y^2}=\overline{v_z^2}\). Так как \(v^2=v_x^2+v_y^2+v_z^2\), то \(\overline{v_x^2}=\frac{1}{3}\overline{v^2}\).

\(p\)
давление
Па
\(V\)
объём
м³
\(N\)
число молекул
1
\(n\)
концентрация молекул
м⁻³
\(m\)
масса молекулы
кг
\(v\)
скорость молекулы
м/с
\(E_к\)
кинетическая энергия молекулы
Дж

Как столкновения создают давление

Давление газа — результат многочисленных ударов молекул о стенки сосуда. Рассмотрим прямоугольный сосуд и стенку, перпендикулярную оси \(x\). Молекула массой \(m\) движется к стенке со скоростью, проекция которой равна \(v_x\). При упругом ударе проекция скорости меняется с \(v_x\) на \(-v_x\), поэтому изменение импульса молекулы по модулю равно \(2mv_x\). Стенка получает такой же импульс в противоположном направлении.

За время \(\Delta t\) до стенки долетают молекулы, находящиеся от неё на расстоянии не больше \(v_x\Delta t\). Для всех молекул учитывают среднее значение \(v_x^2\). Суммарный импульс, переданный стенке, делят на время и площадь стенки: это и есть давление.

1
Импульс, переданный стенке одной молекулой при упругом ударе.
\(\displaystyle \Delta p_x=2mv_x\)
2
Число молекул, которые за время \(\Delta t\) достигнут стенки площадью \(S\). Учитывается движение к стенке и объём \(Sv_x\Delta t\).
\(\displaystyle \Delta N=\frac{N}{V}Sv_x\Delta t\)
3
Средняя сила равна переданному импульсу за единицу времени. Для всех молекул появляется среднее значение \(v_x^2\).
\(\displaystyle F=\frac{\Delta p}{\Delta t}=\frac{Nm}{V}S\overline{v_x^2}\)
4
Давление — сила, действующая на единицу площади.
\(\displaystyle p=\frac{F}{S}=\frac{Nm}{V}\overline{v_x^2}\)
5
Используем изотропность движения: \(\overline{v_x^2}=\frac{1}{3}\overline{v^2}\).
\(\displaystyle p=\frac{1}{3}\frac{N}{V}m\overline{v^2}\)
\[p=\frac{1}{3}nm\overline{v^2}\]1

Это основное уравнение МКТ в форме через средний квадрат скорости. Здесь \(\overline{v^2}\) — именно средний квадрат скоростей, а не квадрат средней скорости: обычно \(\overline{v^2}\ne(\overline v)^2\).

Связь давления со средней кинетической энергией

Кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы равна \(E_к=\frac{mv^2}{2}\). Средняя кинетическая энергия молекул: \(\overline{E_к}=\frac{m\overline{v^2}}{2}\). Выразим произведение \(m\overline{v^2}\) из этого определения и подставим в уравнение (1).

\[m\overline{v^2}=2\overline{E_к}\]
\[p=\frac{2}{3}n\overline{E_к}\]2
T
Основное уравнение МКТ

Давление идеального газа равно двум третям произведения концентрации молекул на среднюю кинетическую энергию их поступательного движения: \(p=\frac{2}{3}n\overline{E_к}\). Следовательно, давление растёт, если в единице объёма становится больше молекул или если молекулы в среднем движутся быстрее.

Микро-проверка

Во сколько раз изменится давление, если концентрация молекул увеличится в 2 раза, а средняя кинетическая энергия не изменится?

Связь с температурой

Температура характеризует среднюю кинетическую энергию хаотического движения молекул. Для идеального одноатомного газа она связана с постоянной Больцмана \(k\) формулой \(\overline{E_к}=\frac{3}{2}kT\). Подставляя её в уравнение (2), получаем связь давления, концентрации и абсолютной температуры.

1
Записываем основное уравнение МКТ через среднюю кинетическую энергию.
\(\displaystyle p=\frac{2}{3}n\overline{E_к}\)
2
Для идеального газа используем связь средней кинетической энергии с температурой.
\(\displaystyle \overline{E_к}=\frac{3}{2}kT\)
3
Подставляем и сокращаем множители.
\(\displaystyle p=\frac{2}{3}n\cdot\frac{3}{2}kT=nkT\)
\[p=nkT\]3

Так как \(n=\frac{N}{V}\), формула (3) превращается в \(pV=NkT\). Это микроскопическая форма уравнения состояния идеального газа. Если использовать количество вещества \(\nu\) и постоянную Авогадро \(N_A\), то \(N=\nu N_A\), а \(kN_A=R\), поэтому получается привычная запись \(pV=\nu RT\). Подробнее связь давления и температуры рассматривается на странице о давлении идеального газа и температуре.

Разобранный пример

№
Найдём среднюю кинетическую энергию молекул

Газ имеет давление \(p=1{,}2\cdot10^5\ \text{Па}\) и концентрацию \(n=3{,}0\cdot10^{25}\ \text{м}^{-3}\). Найдём среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекулы.

Показать решение Решение

Используем основное уравнение МКТ и выразим неизвестную энергию.

\[p=\frac{2}{3}n\overline{E_к}\quad\Rightarrow\quad \overline{E_к}=\frac{3p}{2n}\]

Подставим значения в единицах СИ.

\[\overline{E_к}=\frac{3\cdot1{,}2\cdot10^5}{2\cdot3{,}0\cdot10^{25}}\ \text{Дж}\]

Сначала вычислим числовой коэффициент, затем степень десяти.

\[\overline{E_к}=0{,}6\cdot10^{-20}\ \text{Дж}=6{,}0\cdot10^{-21}\ \text{Дж}\]

Ответ: средняя кинетическая энергия одной молекулы равна \(6{,}0\cdot10^{-21}\ \text{Дж}\).

Частые ошибки

!
Что проверить в решении

1) Не путайте \(n=\frac NV\) с плотностью вещества. 2) Не забывайте множитель \(\frac13\) в формуле через скорость и множитель \(\frac23\) в формуле через энергию. 3) В формулах с температурой используйте только абсолютную температуру в кельвинах: \(T=t+273\). 4) \(\overline{v^2}\) — средний квадрат скорости, а не квадрат средней скорости. 5) Массу молекулы нужно брать в килограммах, давление — в паскалях, концентрацию — в \(\text{м}^{-3}\).

Как быстро выбрать формулу

Если даны \(N\), \(V\), \(m\) и скорость или её средний квадрат, используйте \(p=\frac13nm\overline{v^2}\). Если дана средняя кинетическая энергия, используйте \(p=\frac23n\overline{E_к}\). Если даны температура и концентрация, удобнее применить \(p=nkT\).

Quick-test

Q
Быстрый тест по теме

Проверь себя

~ 2 мин4 вопроса
Вопрос 1 / 4
Вопрос 1 из 4 · основное уравнение МКТ
Как изменится давление при неизменной концентрации, если средняя кинетическая энергия увеличится в 3 раза?
Главное за минуту

Главное

  • Идеальный газ рассматривают как множество молекул, хаотически движущихся и упруго сталкивающихся со стенками.
  • Основное уравнение МКТ: \(p=\frac13nm\overline{v^2}\).
  • Через среднюю кинетическую энергию: \(p=\frac23n\overline{E_к}\).
  • Для идеального газа \(\overline{E_к}=\frac32kT\), поэтому \(p=nkT\) и \(pV=NkT\).
  • При постоянной концентрации давление тем больше, чем выше средняя кинетическая энергия молекул, то есть температура.