Расчёт давления газа
Давление газа можно рассчитать двумя основными способами: по движению его молекул с помощью основного уравнения МКТ или по макроскопическим параметрам газа с помощью уравнения состояния идеального газа. Выбор формулы зависит от того, какие величины даны в условии.
1. Что называют давлением газа
Газ состоит из большого числа частиц, которые непрерывно и хаотически движутся. При столкновениях со стенками сосуда молекулы изменяют импульс, а стенка получает от них силу. Суммарное действие множества ударов создаёт давление газа.
Давление — физическая величина, равная отношению модуля силы давления, действующей перпендикулярно поверхности, к площади этой поверхности: \(p=\frac{F}{S}\). Давление измеряется в паскалях: \(1\ \text{Па}=1\ \text{Н}/\text{м}^2\).
В задачах по МКТ часто используют основное уравнение молекулярно-кинетической теории. Оно связывает давление с массой молекул, их концентрацией и средней квадратичной скоростью.
2. Расчёт давления по уравнению МКТ
Для идеального газа давление выражается формулой \(p=\frac{1}{3}m_0 n\overline{v^2}\), где \(m_0\) — масса одной молекулы, \(n=\frac{N}{V}\) — концентрация молекул, а \(\overline{v^2}\) — среднее значение квадрата скорости.
Знак черты сверху относится ко всему квадрату скорости: \(\overline{v^2}\) не равно \((\overline v)^2\). Это важно: в формуле используется средняя квадратичная скорость, а не просто средняя скорость.
Если известна средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы \(\overline{E_k}\), удобнее использовать равенство \(\overline{E_k}=\frac{m_0\overline{v^2}}{2}\). Тогда уравнение МКТ приобретает вид:
Из основного уравнения видно: при неизменной концентрации давление прямо пропорционально средней кинетической энергии молекул, а значит, температуре. При увеличении концентрации в несколько раз давление увеличивается во столько же раз, если скорость движения молекул не меняется.
Если в условии даны \(m_0\), \(n\) и \(\overline{v^2}\), применяйте \(p=\frac{1}{3}m_0n\overline{v^2}\). Если дана средняя кинетическая энергия молекул, применяйте \(p=\frac{2}{3}n\overline{E_k}\).
Во сколько раз изменится давление, если концентрация молекул увеличится в 3 раза, а средняя кинетическая энергия каждой молекулы не изменится?
3. Расчёт давления по уравнению состояния
Если в условии известны температура, объём и количество вещества, используют уравнение состояния идеального газа. Идеальный газ — модель, в которой размерами молекул и их взаимодействием вне столкновений пренебрегают.
Давление идеального газа определяется количеством вещества, абсолютной температурой и объёмом: \(pV=\nu RT\), где \(\nu\) — количество вещества, \(R=8{,}31\ \text{Дж}/(\text{моль}\cdot\text{К})\) — универсальная газовая постоянная.
Количество вещества можно найти через массу газа и молярную массу: \(\nu=\frac{m}{M}\). Поэтому часто используют объединённую запись:
Температура в формулах для газа должна быть абсолютной. Если дана температура по шкале Цельсия, сначала переведите её в кельвины: \(T=t+273\) для школьных расчётов. Объём необходимо выразить в кубических метрах, массу — в килограммах, молярную массу — в килограммах на моль.
| Дано в условии | Что сделать перед подстановкой |
|---|---|
| Температура \(t\) в °C | Перевести: \(T=t+273\) |
| Объём в литрах | Перевести: \(V=V_{л}\cdot10^{-3}\ \text{м}^3\) |
| Масса в граммах | Перевести в килограммы |
| Молярная масса в г/моль | Перевести в кг/моль |
Уравнение состояния и уравнение МКТ описывают один и тот же газ на разных уровнях. При использовании \(n=\frac{N}{V}\) и связи \(\overline{E_k}=\frac{3}{2}kT\) получается \(p=nkT\), а с учётом \(N=\nu N_A\) — формула \(pV=\nu RT\).
4. Алгоритм решения задач
- Выпишите все данные и искомую величину.
- Определите, какие сведения даны: микроскопические (\(m_0\), \(n\), скорость, энергия) или макроскопические (\(m\), \(M\), \(V\), \(T\), \(\nu\)).
- Выберите подходящую формулу давления.
- Переведите все величины в единицы СИ.
- Подставьте значения, выполните расчёт и проверьте размерность и порядок ответа.
В сосуде находится идеальный газ массой \(m=4\ \text{г}\) с молярной массой \(M=2\ \text{г/моль}\). Объём сосуда \(V=10\ \text{л}\), температура газа \(t=27\ ^\circ\text{C}\). Найдём давление газа.
Ответ: \(p\approx5{,}0\cdot10^5\ \text{Па}\). Проверка показывает, что давление получилось немного больше атмосферного, что согласуется с большой концентрацией газа в небольшом объёме.
5. Частые ошибки и полезные проверки
1. Подстановка температуры в градусах Цельсия вместо кельвинов. 2. Использование литров без перевода в \(\text{м}^3\). 3. Смешивание единиц: \(M\) в г/моль вместе с массой в килограммах. 4. Замена \(\overline{v^2}\) на \((\overline v)^2\). 5. Потеря множителя \(\frac13\) в уравнении МКТ. 6. Использование формулы \(p=\frac{\nu RT}{V}\) для процесса, где количество газа меняется без учёта этого изменения.
Проверьте, как давление должно измениться качественно. При увеличении температуры в постоянном объёме оно растёт; при увеличении объёма при постоянной температуре уменьшается. Если ответ противоречит этому, ищите ошибку в переводе единиц или формуле.
Для задач на изменение состояния удобно применять алгоритм решения задач на газовые законы. Если масса газа постоянна, можно сравнивать два состояния без вычисления количества вещества: \(\frac{p_1V_1}{T_1}=\frac{p_2V_2}{T_2}\). Частные случаи описывают закон Шарля, закон Гей—Люссака и закон Бойля—Мариотта.
Проверь себя
Главное
- Давление газа можно находить по уравнению МКТ \(p=\frac13m_0n\overline{v^2}\) или \(p=\frac23n\overline{E_k}\).
- По уравнению состояния идеального газа \(p=\frac{\nu RT}{V}=\frac{mRT}{MV}\).
- Температуру всегда переводят в кельвины, объём — в кубические метры, массу — в килограммы.
- При постоянных \(T\) и \(\nu\) давление обратно пропорционально объёму; при постоянных \(V\) и \(\nu\) прямо пропорционально абсолютной температуре.
- Перед ответом полезно проверить единицы, размерность и физический смысл результата.