Поле двух проводников с током
Магнитное поле двух параллельных проводников находят как векторную сумму полей, создаваемых каждым проводником отдельно. Для этого используют формулу поля прямого проводника, правило правой руки и геометрическое сложение векторов магнитной индукции.
Модель и основные величины
Рассмотрим два длинных прямых параллельных проводника с токами \(I_1\) и \(I_2\). Расстояние между проводниками обозначим \(d\). В некоторой точке \(P\) поля проводников имеют индукции \(\vec B_1\) и \(\vec B_2\). Каждое поле направлено по касательной к окружности, центр которой лежит на соответствующем проводнике.
Сначала определяют поле каждого провода по материалу магнитное поле прямого проводника с током. Затем применяют принцип суперпозиции магнитных полей: результирующее поле равно векторной сумме отдельных полей. Поэтому нельзя складывать модули без учёта направлений.
Магнитная индукция \(\vec B\) — векторная физическая величина, характеризующая магнитное поле. Единица СИ — тесла, \(1\ \text{Тл}\). Направление \(\vec B\) находят правилом правой руки.
Здесь \(r\) — кратчайшее расстояние от проводника до точки наблюдения. Для среды с относительной магнитной проницаемостью \(\mu_r\) используют \(B=\frac{\mu_0\mu_r I}{2\pi r}\). В школьных задачах обычно предполагают воздух или вакуум, поэтому \(\mu_r\approx1\).
Если в одной точке существуют поля \(\vec B_1,\vec B_2,\ldots\), то результирующая индукция равна их векторной сумме: \(\vec B=\vec B_1+\vec B_2+\ldots\). Для двух проводников направление и величину результата определяют геометрическим сложением векторов.
Как складываются поля
Направление поля каждого провода находят правилом правой руки: если большой палец направлен по току, согнутые пальцы показывают направление линий магнитного поля. В точке \(P\) нужно отдельно определить направления \(\vec B_1\) и \(\vec B_2\), а уже затем сложить их.
- Определите расстояния \(r_1\) и \(r_2\) от точки до первого и второго проводников.
- Вычислите модули \(B_1=\frac{\mu_0 I_1}{2\pi r_1}\) и \(B_2=\frac{\mu_0 I_2}{2\pi r_2}\).
- Правилом правой руки установите направления векторов.
- Сложите векторы: при одинаковом направлении модули складываются, при противоположном — вычитаются.
Знак «плюс» используют, если поля сонаправлены, а знак «минус» — если они противоположно направлены. Если векторы перпендикулярны, применяют теорему Пифагора: \(B=\sqrt{B_1^2+B_2^2}\). При произвольном угле \(\alpha\) между ними действует закон косинусов.
В точке поля двух проводников направлены в противоположные стороны. Как найти модуль результирующей индукции?
Если точка находится посередине между одинаковыми проводниками, то \(r_1=r_2\). При равных токах и противоположных направлениях полей результирующая индукция равна нулю. Если поля сонаправлены, \(B=2B_1\).
Результат для одинаковых токов
Пусть провода расположены параллельно, а токи имеют одинаковое направление. Между проводами магнитные поля направлены противоположно, поэтому здесь возможна точка нулевого поля. Она расположена ближе к проводу с меньшим током, потому что поле слабого провода должно компенсировать поле сильного на меньшем расстоянии от него.
Если токи направлены противоположно, то между проводами поля сонаправлены и не могут взаимно уничтожиться. Внешняя область, наоборот, может содержать точку компенсации, если токи различны.
В точке, где \(\vec B_1\) и \(\vec B_2\) направлены противоположно, поле отсутствует, если \(B_1=B_2\). Для двух длинных проводников это означает \(\frac{I_1}{r_1}=\frac{I_2}{r_2}\).
Разобранный пример
Параллельные проводники находятся на расстоянии \(d=20\ \text{см}\). Токи направлены одинаково: \(I_1=6\ \text{А}\) и \(I_2=4\ \text{А}\). Найдём индукцию в точке \(P\) посередине между проводниками. Примем \(\mu_0=4\pi\cdot10^{-7}\ \text{Тл·м/А}\).
В задачах, где требуется найти точку нулевого поля, вместо заданного расстояния используют условие \(I_1/r_1=I_2/r_2\) и связь расстояний с расстоянием между проводами. При этом обязательно рассматривают области: между проводами и снаружи.
Частые ошибки и связь с другими темами
1. Складывать \(B_1\) и \(B_2\) без определения направлений. 2. Использовать расстояние между проводами вместо расстояния от провода до точки. 3. Забывать перевести сантиметры в метры. 4. Считать, что одинаковые токи всегда дают нулевое поле: это верно только там, где поля противоположны. 5. Путать силу тока \(I\) с магнитной индукцией \(B\).
Зависимость \(B\sim1/r\) подробно рассматривается на странице зависимость поля проводника от расстояния. Силу взаимодействия самих проводников изучают после нахождения поля: она связана с магнитным полем длинного проводника и действием магнитного поля на ток. Не смешивайте магнитную индукцию с энергией поля, которая рассматривается на странице плотность энергии магнитного поля.
Проверь себя
Главное
- Поле каждого длинного прямого проводника находят по формуле \(B=\frac{\mu_0I}{2\pi r}\).
- Результирующая индукция — векторная сумма полей отдельных проводников.
- При сонаправленных полях модули складываются, при противоположных — вычитаются.
- Направления полей определяют правилом правой руки.
- Для нулевого поля модули должны быть равны, а направления — противоположны.