Гидростатическое равновесие
Гидростатическое равновесие — это состояние покоя жидкости, при котором давление и силы, действующие на каждый её объём, взаимно уравновешены. Тема помогает объяснять, почему устанавливаются уровни жидкости в сосудах, как работают сообщающиеся сосуды и почему при одинаковой жидкости свободные поверхности оказываются на одной высоте.
Что называют гидростатическим равновесием
Жидкость находится в гидростатическом равновесии, если её части не перемещаются относительно друг друга. В обычной задаче на жидкость действует сила тяжести, направленная вертикально вниз. Давление внутри жидкости изменяется с глубиной: чем ниже точка, тем больше слой жидкости над ней и тем больше давление.
Состояние жидкости, при котором результирующая сила на каждый малый объём жидкости равна нулю, поэтому жидкость покоится и не имеет направленного течения.
Для покоящейся жидкости давление на одной и той же горизонтали одинаково, если жидкость однородна и сообщается между точками. Это следствие равновесия: иначе возникло бы движение от области большего давления к области меньшего давления.
В однородной жидкости, находящейся в покое, давление на одном горизонтальном уровне одинаково. На разных уровнях давление отличается на величину, связанную с разностью глубин.
При решении задач сначала выбирают горизонтальный уровень сравнения. Удобнее всего проводить его через границу раздела жидкостей или через точку, где давление известно. Затем записывают давление с каждой стороны и приравнивают его.
Давление внутри неподвижной жидкости
Если поверхность жидкости открыта в атмосферу, давление на глубине \(h\) складывается из атмосферного давления и давления столба жидкости. Это частный случай гидростатического давления, которое рассматривается подробнее на соседней странице.
Здесь \(p_0\) — давление на свободной поверхности, обычно атмосферное давление \(p_{атм}\). Если сравниваются две точки одной жидкости, атмосферное давление часто сокращается, и остаётся разность давлений.
Давление действует перпендикулярно любой площадке внутри жидкости и стенкам сосуда. Это связано с законом Паскаля: давление, создаваемое внешним воздействием, передаётся жидкостью без изменения во все стороны.
В одной и той же жидкости давление увеличивается вниз на величину \(\rho gh\). На одинаковой глубине в сообщающихся областях одной жидкости давления равны.
Сообщающиеся сосуды и уровни жидкости
Сообщающимися называют сосуды, соединённые каналом, по которому жидкость может свободно перемещаться. Если в них налита одна и та же жидкость, а над поверхностями действует одинаковое внешнее давление, после установления равновесия свободные поверхности находятся на одном уровне.
Форма сосудов и площадь их сечений на результат не влияют. Узкая трубка и широкая колба могут иметь разные объёмы жидкости, но высоты свободных поверхностей будут одинаковыми. Это и есть ответ на типичный вопрос «уровень жидкости в сосудах»: для одной жидкости при одинаковом давлении сверху уровни совпадают.
Если сверху на жидкости действуют разные давления, уровни не обязаны быть одинаковыми. Для точек на одном горизонтальном уровне записывают равенство давлений:
Отсюда видно: если \(p_1>p_2\), то в первой ветви слой жидкости должен быть ниже, то есть \(h_1<h_2\). Дополнительное внешнее давление сильнее «прижимает» жидкость и вытесняет её в другую ветвь.
В двух сообщающихся сосудах находится одна и та же вода, поверхности открыты воздуху. В левую ветвь долили воду. Что произойдёт после установления равновесия?
Разные жидкости в сообщающихся сосудах
Если в сообщающихся сосудах находятся две несмешивающиеся жидкости, их уровни обычно различны. Например, масло менее плотно, чем вода, поэтому для создания того же давления ему нужен более высокий столб.
На общей горизонтали, проходящей через границу раздела неподвижных жидкостей, давления с обеих сторон равны. Поэтому для открытых сосудов выполняется \(\rho_1gh_1=\rho_2gh_2\), если \(h_1\) и \(h_2\) отсчитываются от свободных поверхностей до одного уровня.
Чем больше плотность жидкости, тем меньше высота её столба при одном и том же давлении. Поэтому в опыте с водой и маслом столб масла будет выше столба воды над общей горизонталью.
Разобранный пример: масло и вода
В левом колене сообщающихся сосудов находится вода плотностью \(1000\ \text{кг/м}^3\), в правом — масло плотностью \(800\ \text{кг/м}^3\). Высота столба воды от границы раздела до поверхности равна \(8\ \text{см}\). Найдите высоту столба масла над той же границей.
Показать решение Решение
Оба сосуда открыты, поэтому на свободных поверхностях действует одинаковое атмосферное давление. Давления на уровне границы раздела равны.
Ответ: высота столба масла равна \(10\ \text{см}\). Масло имеет меньшую плотность, поэтому его столб выше.
В задачах может встречаться гидравлическое равновесие, когда рассматриваются поршни, жидкости и передача сил. Не путайте его с гидростатическим равновесием: здесь главное — покой жидкости под действием давления и тяжести, а не механическое преимущество поршней.
Внешние силы и ускоряющаяся система
Если сосуд движется с постоянным ускорением, свободная поверхность жидкости может быть наклонной. Жидкость располагается так, чтобы результирующее «эффективное» ускорение, учитывающее тяжесть и действие инерции, было перпендикулярно поверхности. При горизонтальном ускорении вправо поверхность повышается слева и понижается справа.
В обычных экзаменационных задачах чаще рассматривают неподвижный сосуд, но этот принцип помогает понять, почему вода наклоняется в разгоняющемся автомобиле. Если сосуд вращается, свободная поверхность принимает искривлённую форму.
1. Приравнивать уровни жидкостей разной плотности: это неверно, если жидкости не смешиваются. 2. Приравнивать давления на разных высотах без учёта столбов жидкости. 3. Забывать внешнее давление на поверхности, если сосуды закрыты. 4. Подставлять сантиметры вместо метров в формулу \(p=\rho gh\). 5. Считать, что форма сосуда определяет уровень: в равновесии важны давление, плотность и высота столба.
Нарисуйте сосуды и отметьте свободные поверхности. Выберите общую горизонталь в одной жидкости или на границе раздела. Запишите давления по пути от поверхности до выбранного уровня. Приравняйте давления, сократите одинаковые слагаемые и только затем подставляйте числа.
Проверка и связь с другими темами
Давление жидкости на дно связано с силой давления на дно сосуда, но эти понятия нельзя отождествлять: давление измеряется в паскалях, а сила — в ньютонах. Если в жидкости находится тело, понадобится сила Архимеда и объём вытесненной жидкости. А форма поверхности покоящейся жидкости рассматривается на странице о свободной поверхности жидкости.
Итоговый тест
Главное
- Гидростатическое равновесие означает покой жидкости и нулевую результирующую силу на её малый объём.
- В однородной покоящейся жидкости давление на одной горизонтали одинаково, а давление возрастает с глубиной: \(p=p_0+\rho gh\).
- В сообщающихся сосудах с одной жидкостью при одинаковом внешнем давлении свободные поверхности находятся на одной высоте.
- Для разных несмешивающихся жидкостей выполняется равенство столбов по давлению: \(\rho_1h_1=\rho_2h_2\).
- В задачах всегда выбирайте общую горизонталь, учитывайте внешнее давление и переводите все длины в метры.