Термодинамика смеси газов

Смесь идеальных газов рассматривают как совокупность газов, которые находятся в одном объёме и имеют общую температуру. Для решения задач нужно отдельно учитывать количество вещества каждого компонента, его парциальное давление и вклад во внутреннюю энергию смеси.

Основные понятия и величины

Пусть смесь состоит из компонентов с количеством вещества \(\nu_1,\nu_2,\ldots\). Полное количество вещества равно сумме количеств всех газов: \(\nu=\nu_1+\nu_2+\ldots\). Если газы находятся в одном сосуде в состоянии равновесия, температура \(T\) у них общая.

При расчётах температуру обязательно переводят в кельвины: \(T=t+273\), где \(t\) — температура в градусах Цельсия. Молярную массу также переводят в кг/моль: например, \(32\,\text{г/моль}=0{,}032\,\text{кг/моль}\).

Давление и состав смеси

Для каждого компонента справедливо уравнение состояния идеального газа. Давление, которое создавал бы данный газ, занимая весь объём смеси при той же температуре, называют его парциальным давлением. Подробнее это понятие разобрано на странице парциальное давление.

Мольная доля компонента \(i\) — отношение его количества вещества к общему количеству: \(x_i=\frac{\nu_i}{\nu}\). Тогда парциальное давление выражается через полное давление смеси: \(p_i=x_i p\).

Если известны массы компонентов, используют связь \(\nu_i=\frac{m_i}{M_i}\). Тогда давление смеси в сосуде объёма \(V\) при температуре \(T\) можно найти непосредственно по массам:

Плотность смеси: формула и способы расчёта

Плотность смеси — отношение общей массы газов к объёму смеси: \(\rho=\frac{m}{V}\). Для одинаковых \(T\) и \(p\) удобно ввести эффективную, или среднюю, молярную массу смеси \(M_{\text{см}}\). Она показывает, какую молярную массу имел бы один газ с теми же массой, объёмом, температурой и давлением.

Если известны мольные доли компонентов, средняя молярная масса равна среднему арифметическому молярных масс с весами \(x_i\):

Если известны массы компонентов, можно использовать другую форму:

Важно не путать две ситуации. При заданных мольных долях используют \(M_{\text{см}}=\sum x_iM_i\). При заданных массовых долях \(w_i=\frac{m_i}{m}\) удобнее формула \(\frac{1}{M_{\text{см}}}=\sum_i\frac{w_i}{M_i}\).

Внутренняя энергия смеси

Внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры и количества вещества. Для одноатомного газа число степеней свободы равно \(3\), для двухатомного при обычных температурах обычно принимают \(5\). Тема подробно связана с внутренней энергией идеального газа.

Для смеси внутренняя энергия равна сумме энергий компонентов. Если все газы имеют одинаковое число степеней свободы, формула упрощается. Если состав неоднороден, нужно складывать вклады каждого газа отдельно.

Для смеси одноатомного и двухатомного газов, например, \(U=\frac{3}{2}\nu_1RT+\frac{5}{2}\nu_2RT\). Давление при этом определяется общим количеством вещества, а внутренняя энергия зависит ещё и от строения молекул.

Разобранный пример: плотность и давление смеси

Проверка: средняя молярная масса здесь \(M_{\text{см}}=\frac{0{,}060}{2}=0{,}030\,\text{кг/моль}\). Поэтому \(\rho=\frac{pM_{\text{см}}}{RT}\) даёт те же \(6\,\text{кг/м}^3\).

Алгоритм решения и типичные ошибки

1. Выписать состав смеси и определить, какие величины относятся к каждому компоненту.
2. Перевести объём, массу, молярные массы и температуру в единицы СИ.
3. Найти количества вещества \(\nu_i=m_i/M_i\) или использовать заданные мольные доли.
4. Для давления найти сумму \(\nu_i\) и применить \(p=\nu RT/V\).
5. Для плотности использовать \(\rho=m/V\) либо \(\rho=pM_{\text{см}}/(RT)\).
6. Для внутренней энергии сложить энергии компонентов, учитывая их число степеней свободы.

Для более сложных задач о смешивании газов с изменением температуры полезна страница задачи на тепловое равновесие. При решении задач на теплоёмкость обращайтесь к молярной теплоёмкости и теплоёмкости газа. Основные связи с молекулярно-кинетической теорией собраны на странице основные формулы молекулярно-кинетической теории.