Задачи на смеси газов
Задачи на смеси газов решаются через уравнение состояния идеального газа и закон Дальтона. Главное — понять, какие величины относятся ко всей смеси, а какие к отдельному компоненту: масса и количество вещества складываются, парциальные давления складываются, а объём смеси при обычном смешивании занимает общий сосуд.
Основные понятия и величины
Смесь идеальных газов — это несколько газов, молекулы которых практически не взаимодействуют друг с другом, а каждый компонент подчиняется уравнению состояния идеального газа. Перед решением полезно повторить материал страницы смеси идеальных газов, а также определения на странице плотность смеси газов.
Компонент смеси — один из газов, входящих в смесь. Полная масса смеси равна сумме масс компонентов: \(m=m_1+m_2+\ldots\). Полное количество вещества также складывается: \(\nu=\nu_1+\nu_2+\ldots\).
Давление смеси идеальных газов равно сумме парциальных давлений компонентов. Парциальное давление — давление, которое создавал бы данный газ, если бы один занимал весь объём смеси при той же температуре.
Для любого компонента и для всей смеси используется уравнение \(pV=\nu RT\), где \(R=8{,}31\ \text{Дж/(моль·К)}\). Количество вещества связано с массой и молярной массой: \(\nu=\frac{m}{M}\). Температура в расчётах должна быть абсолютной: \(T=t+273\).
Давление и состав смеси
Если все газы находятся в одном сосуде объёма \(V\) при одинаковой температуре \(T\), то для компонента \(i\) справедливо \(p_iV=\nu_iRT\). Поэтому парциальное давление пропорционально количеству вещества компонента.
Доля компонента по количеству вещества называется молярной, или объёмной, долей. Для идеальной смеси она равна отношению парциального давления к общему давлению.
Если известны общее давление и молярные доли, сразу находите \(p_i=x_ip\). Если известны массы, сначала вычислите количества вещества \(\nu_i=\frac{m_i}{M_i}\), а затем применяйте формулы (2) и (3).
В сосуде находятся 2 моль азота и 1 моль кислорода. Общая температура и объём одинаковы для обоих газов. Какова доля парциального давления кислорода?
Плотность смеси: формула и смысл
Плотность смеси определяется как отношение полной массы к общему объёму: \(\rho=\frac{m}{V}\). Для смеси газов нельзя просто складывать плотности: компоненты занимают один и тот же общий объём. Нужно сложить массы компонентов и разделить сумму на объём смеси.
Если известны температура и давление смеси, удобно ввести среднюю молярную массу. Из уравнения состояния следует формула, которая часто используется для расчёта плотности смеси.
Если состав задан молярными долями, средняя молярная масса находится проще: \(M_{\text{ср}}=x_1M_1+x_2M_2+\ldots+x_nM_n\). Это средневзвешенное значение, причём веса — именно молярные доли, а не обязательно массовые.
Для одинакового общего объёма \(V\) плотность смеси равна сумме масс компонентов, делённой на этот объём: \(\rho_{\text{см}}=\frac{\sum m_i}{V}\). При заданных \(p\) и \(T\) используйте \(\rho_{\text{см}}=\frac{pM_{\text{ср}}}{RT}\).
Объём, температура и смешивание
Если газ выпускают из нескольких сосудов в один, после установления равновесия общий объём обычно равен объёму доступного сосуда. Если сосуды соединяют без изменения температуры и потерь газа, сохраняются масса каждого компонента и общее количество вещества. Давление после смешивания находят по суммарному количеству вещества и конечному объёму.
Если до смешивания каждый газ занимал объём \(V_i\) при одном давлении \(p_i\) и температуре \(T\), можно найти его количество вещества по формуле \(\nu_i=\frac{p_iV_i}{RT}\). После этого применяют формулу (8). При разных начальных температурах сначала обязательно переводят условия каждого газа в количество вещества, а затем используют конечную температуру.
Разобранный пример: расчёт плотности смеси
В сосуде объёмом \(V=10\ \text{л}\) находятся \(m_1=4\ \text{г}\) гелия (\(M_1=4\ \text{г/моль}\)) и \(m_2=32\ \text{г}\) кислорода (\(M_2=32\ \text{г/моль}\)) при температуре \(T=300\ \text{К}\). Найдите плотность и давление смеси.
Показать решение Решение
Ответ: \(\rho=3{,}6\ \text{кг/м}^3\), \(p\approx5{,}0\cdot10^5\ \text{Па}\). Проверка через среднюю молярную массу даёт тот же результат: \(M_{\text{ср}}=\frac{36}{2}=18\ \text{г/моль}\), затем \(\rho=\frac{pM_{\text{ср}}}{RT}\).
Алгоритм решения и типичные ошибки
- Запишите, что дано, и приведите все величины к СИ: литры — в м³, граммы — в кг, градусы Цельсия — в кельвины.
- Определите, относится ли данная величина к смеси или к отдельному компоненту.
- Для каждого газа при необходимости найдите \(\nu_i=\frac{m_i}{M_i}\).
- Для давления сложите количества вещества и примените \(p=\frac{\nu RT}{V}\); для плотности используйте \(\rho=\frac{m}{V}\) или \(\rho=\frac{pM_{\text{ср}}}{RT}\).
- Проверьте размерность, знак ответа и физический смысл результата.
1. Складывают плотности компонентов вместо масс. 2. Используют температуру в градусах Цельсия. 3. Берут \(M_{\text{ср}}\) как обычное среднее молярных масс, хотя количества компонентов различны. 4. Подставляют объём одного газа вместо общего объёма смеси. 5. Забывают перевести граммы и литры в единицы СИ. 6. Путают массовую долю \(\frac{m_i}{m}\) с молярной долей \(\frac{\nu_i}{\nu}\).
Задачи на плотность смеси близки к задачам со смесями жидкостей и сплавами, но для газов дополнительно важны температура и давление. Для реальных газов идеальная модель может быть недостаточной: тогда изучают реальный газ и уравнение Ван-дер-Ваальса.
Быстрая проверка
Главное
- Масса смеси равна сумме масс компонентов, а количество вещества — сумме их количеств.
- По закону Дальтона общее давление равно сумме парциальных давлений.
- Плотность смеси: \(\rho=\frac{m}{V}\); при заданных \(p\) и \(T\): \(\rho=\frac{pM_{\text{ср}}}{RT}\).
- Средняя молярная масса зависит от способа задания состава: при молярных долях \(M_{\text{ср}}=\sum x_iM_i\).
- Перед подстановкой всегда переводите величины в СИ и используйте температуру в кельвинах.