Движение по вертикальной окружности
Движение по вертикальной окружности отличается от движения по горизонтальной тем, что сила тяжести меняет не только скорость тела, но и направление относительно центра окружности. Поэтому в каждой точке нужно отдельно составлять уравнение сил, а скорость удобно находить с помощью закона сохранения механической энергии.
Модель и основные величины
Рассмотрим тело массой \(m\), движущееся по окружности радиуса \(R\). Тело может быть соединено с нитью, двигаться по внутренней поверхности сферы или скользить по внешней поверхности. В школьных задачах обычно пренебрегают сопротивлением воздуха и массой нити, а ускорение свободного падения считают постоянным: \(g=9{,}8\ \text{м/с}^2\) немесе \(g=10\ \text{м/с}^2\).
Вертикальная окружность — траектория, плоскость которой вертикальна, поэтому высота тела и направление силы тяжести изменяются при движении. Центростремительное ускорение в любой точке направлено к центру: \(a_ц=\frac{v^2}{R}\).
Главный приём — выбрать точку окружности и положительное направление к центру, затем спроектировать все силы на радиальное направление. Согласно центростремительному ускорению, сумма радиальных проекций сил должна равняться \(m\frac{v^2}{R}\).
Уравнение сил в разных точках
В верхней точке окружности центр находится внизу. Если тело удерживается нитью, и нить натянута, обе силы — \(mg\) и \(T\) — направлены к центру. Поэтому
В нижней точке центр находится сверху. Сила натяжения направлена к центру, а сила тяжести — от центра. Получаем
В боковой точке радиус направлен горизонтально, а сила тяжести вертикальна и не имеет радиальной проекции. Поэтому при движении по нити \(T=m\frac{v^2}{R}\).
В любой точке окружности алгебраическая сумма проекций всех сил на направление к центру равна \(m\frac{v^2}{R}\). Знак каждой силы определяется тем, направлена ли она к центру или от центра.
Условия натяжения и отрыва
Нить может только тянуть тело, поэтому сила натяжения не бывает отрицательной: \(T\ge 0\). При \(T=0\) нить перестаёт действовать — тело начинает двигаться как свободное тело по касательной, а затем по параболе под действием силы тяжести.
Для тела на нити минимальная скорость в верхней точке соответствует \(T=0\). Тогда \(mg=m\frac{v_{\text{в}}^2}{R}\), откуда \(v_{\text{в,min}}=\sqrt{gR}\). При меньшей скорости нить провиснет, и полный оборот невозможен.
Если тело движется по внутренней поверхности гладкой сферы, условие отрыва также записывается как \(N=0\): реакция опоры исчезает. Для внешней поверхности сила реакции в верхней точке направлена от центра, поэтому радиальное уравнение имеет вид \(mg-N=m\frac{v^2}{R}\). Отрыв происходит при \(N=0\), но такая траектория обычно возможна только на ограниченном участке.
В верхней точке тело движется по нити. Что произойдёт при уменьшении скорости ниже \(\sqrt{gR}\)?
Скорость по закону сохранения энергии
Если сопротивления нет, механическая энергия сохраняется. При подъёме на высоту \(h\) кинетическая энергия уменьшается на \(mgh\). Если тело движется из нижней точки в верхнюю, разность высот равна \(2R\):
Эта связь не зависит от массы тела. Сила натяжения, напротив, обычно зависит от массы. Для полного оборота достаточно обеспечить условие в самой «опасной» точке — верхней. Если \(v_{\text{в}}^2\ge gR\), то в нижней точке скорость автоматически больше.
Для полного оборота тела на натянутой нити: \(v_{\text{в,min}}^2=gR\), поэтому по энергии \(v_{\text{н,min}}^2=5gR\) и \(v_{\text{н,min}}=\sqrt{5gR}\).
Разобранный пример
Шарик массой \(m=0{,}2\ \text{кг\) закреплён на нити длиной \(R=0{,}8\ \text{м\). Какую минимальную скорость нужно сообщить шарику в нижней точке, чтобы он совершил полный оборот? Найдите натяжение нити в нижней точке. Считать \(g=10\ \text{м/с}^2\).
Жауабы: минимальная скорость в нижней точке равна примерно \(6{,}3\ \text{м/с}\), натяжение нити в нижней точке — \(20\ \text{Н}\). Заметим, что условие полного оборота задаётся верхней точкой, а наибольшее натяжение для этой задачи получается в нижней.
Частые ошибки и алгоритм шешімдер
- Сделайте рисунок и отметьте центр окружности, скорость и все силы.
- Для выбранной точки укажите направление к центру.
- Запишите радиальное уравнение второго закона Ньютона.
- Если точки имеют разную высоту, примените закон сохранения энергии.
- Для проверки контакта используйте \(T\ge0\) для нити или \(N\ge0\) для опоры.
Нельзя автоматически писать \(T=m\frac{v^2}{R}\): это верно только тогда, когда сила тяжести не имеет радиальной проекции. Нельзя считать скорость одинаковой во всех точках: на вертикальной окружности она меняется по высоте. Наконец, условие \(T=0\) означает предельный отрыв, а не отрицательное натяжение.
В задачах с опорой важно различать движение по внутренней и внешней поверхности. Сначала определите, куда направлена реакция опоры: тело давит на поверхность, а поверхность действует на тело перпендикулярно ей. Для более сложных случаев полезны страницы равновесие нескольких сил и вес тела в лифте — они помогают правильно понимать реакции и кажущийся вес.
Быстрая проверка
Главное
- В любой точке сумма радиальных проекций сил равна \(m\frac{v^2}{R}\).
- Скорость в разных точках вертикальной окружности связывается законом сохранения механической энергии.
- Для нити условие контакта — \(T\ge0\); предельный отрыв соответствует \(T=0\).
- Минимальная скорость в верхней точке: \(\sqrt{gR}\), в нижней точке для полного оборота: \(\sqrt{5gR}\).
- Знаки сил в уравнении определяются их направлением относительно центра окружности.