Задачи на конденсаторы
Задачи на конденсаторы сводятся к нескольким действиям: определить схему соединения, выразить ёмкость участка, найти заряд или напряжение, а затем вычислить энергию. Ниже приведён алгоритм, который помогает не путать величины, единицы и правила для последовательного и параллельного соединений.
Основные величины и определения
Конденсатор — устройство из двух проводников, разделённых диэлектриком, предназначенное для накопления электрического заряда и энергии. Его способность накапливать заряд характеризует электроёмкость \(C\). Она зависит от формы и размеров проводников, расстояния между ними и свойств диэлектрика, но не определяется зарядом самого конденсатора при постоянной геометрии.
Электроёмкость — отношение модуля заряда одной обкладки к напряжению между обкладками: \(C=\frac{q}{U}\). Единица СИ — фарад (Ф). На практике часто используют микрофарады, нанофарады и пикофарады.
Для плоского конденсатора полезна формула \(C=\varepsilon_0\varepsilon\frac{S}{d}\), где \(S\) — площадь перекрытия обкладок, \(d\) — расстояние между ними, \(\varepsilon\) — относительная диэлектрическая проницаемость. Подробнее устройство такого конденсатора разобрано на странице плоского конденсатора, а влияние диэлектрика — на странице конденсатора с диэлектриком.
Если заряд дан в микрокулонах, а ёмкость — в микрофарадах, перед вычислением можно использовать одинаковые приставки: \(1\,\mu\text{Кл}/1\,\mu\text{Ф}=1\,\text{В}\). В остальных случаях все величины лучше перевести в единицы СИ.
Общий алгоритм решения
- Сделайте краткую запись: выпишите известные \(C\), \(q\), \(U\), \(W\) и то, что требуется найти.
- Перерисуйте схему или выделите участок, для которого нужно найти эквивалентную ёмкость.
- Определите соединение: при параллельном соединении одинаково напряжение, при последовательном — заряд.
- Найдите эквивалентную ёмкость участка, затем используйте \(q=CU\) или формулу энергии.
- Проверьте единицы, знак ответа и физический смысл результата.
Если в задаче меняют геометрию конденсатора, сначала установите, подключён ли он к источнику. При подключённом источнике напряжение обычно постоянно. У отключённого конденсатора сохраняется заряд, если нет пути для его утечки. Это различие определяет, какая величина остаётся неизменной.
Соединения конденсаторов
Правила соединений удобно повторить по страницам параллельного соединения конденсаторов и последовательного соединения конденсаторов. Для сложной схемы сначала заменяют один простой участок эквивалентным конденсатором, затем рассматривают следующий участок.
При параллельном соединении напряжение на всех конденсаторах одинаково: \(U=U_1=U_2\). Общий заряд равен сумме зарядов, поэтому \(C_{\text{экв}}=C_1+C_2+\ldots\).
При последовательном соединении модули зарядов одинаковы: \(q=q_1=q_2\). Напряжения складываются, поэтому \(\frac{1}{C_{\text{экв}}}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}+\ldots\).
Два конденсатора \(2\,\text{мкФ}\) и \(3\,\text{мкФ}\) соединены параллельно. Какова их эквивалентная ёмкость?
Заряд, напряжение и энергия
После нахождения эквивалентной ёмкости используйте связь \(q=CU\). Для отдельных конденсаторов напряжение или заряд находят по правилам соединения. Например, при параллельном соединении \(q_i=C_iU\), а при последовательном \(q_i=q\) и \(U_i=\frac{q}{C_i}\).
Энергия заряженного конденсатора — работа электрического поля, запасённая при его зарядке. Она зависит от ёмкости и напряжения.
Выбирайте форму формулы по тем величинам, которые уже известны. Если дано только \(q\) и \(C\), удобнее \(W=\frac{q^2}{2C}\); если даны \(C\) и \(U\), используйте \(W=\frac{CU^2}{2}\). Дополнительный разбор есть на странице энергии конденсатора.
Чтобы выразить неизвестную величину, выполняйте одинаковые алгебраические действия с обеими частями равенства. Например, из \(W=\frac{CU^2}{2}\) умножьте обе части на \(2\): \(2W=CU^2\), затем разделите на \(U^2\): \(C=\frac{2W}{U^2}\).
Разобранный пример
Конденсатор ёмкостью \(C=4\,\text{мкФ}\) зарядили до напряжения \(U=200\,\text{В}\). Найдите заряд и энергию конденсатора.
Показать решение Пример
\(q=8\cdot10^{-4}\,\text{Кл}=0{,}8\,\text{мКл}\); \(W=0{,}08\,\text{Дж}\). Размерность заряда — кулон, энергии — джоуль.
Не складывайте ёмкости при последовательном соединении: там складываются обратные величины. Не утверждайте, что при последовательном соединении одинаково напряжение: одинаков заряд. Не забывайте квадрат напряжения в энергии и перевод мкФ, нФ, пФ в фарады. В формулах энергии не теряйте множитель \(\frac12\).
Сложные схемы и изменения параметров
В разветвлённой схеме отмечайте узлы и последовательно заменяйте простые группы. Например, сначала для параллельных \(C_2\) и \(C_3\) находят \(C_{23}=C_2+C_3\), затем объединяют результат последовательно с \(C_1\). После этого можно найти общий заряд, а затем напряжения на отдельных участках.
При изменении расстояния между обкладками плоского конденсатора используйте зависимость \(C\sim\frac1d\). Если источник подключён, \(U\) постоянно и \(q=CU\) изменяется вместе с ёмкостью. Если источник отключён, \(q\) постоянно, а напряжение изменяется по формуле \(U=\frac{q}{C}\). Энергию после изменения параметров вычисляйте заново.
Итоговая проверка
Главное
- Основная связь: \(C=\frac{q}{U}\), поэтому \(q=CU\).
- При параллельном соединении одинаково напряжение, а ёмкости складываются.
- При последовательном соединении одинаков заряд, а складываются обратные ёмкости.
- Энергия конденсатора: \(W=\frac{CU^2}{2}=\frac{qU}{2}=\frac{q^2}{2C}\).
- В сложной задаче сначала заменяйте простые участки, затем находите заряд, напряжение и энергию.
- Перед вычислением проверьте единицы СИ и то, подключён ли конденсатор к источнику.