ЕГЭОГЭЕНТ
РУҚА
Задания № 14, 22 · ОГЭ

Задачи на разветвлённые цепи

Алгоритм расчёта токов, напряжений и сопротивлений в сложных цепях постоянного тока
7 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Разветвлённая электрическая цепь содержит узлы и несколько ветвей, поэтому токи в разных участках могут быть различными. Для её расчёта нужно правильно выбрать участки и направления токов, записать законы Ома и Кирхгофа, а затем преобразовать формулы и проверить ответ.

Основные понятия и обозначения

Ветвь — участок цепи между двумя узлами, по которому течёт один и тот же ток. Узел — точка соединения трёх и более ветвей. Контур — замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям. В цепи могут быть источники тока или напряжения, резисторы, ключи и измерительные приборы.

D
Разветвлённая цепь

Разветвлённая цепь — это электрическая цепь, в которой ток от узла разделяется по двум или более ветвям, а затем может снова соединяться.

\(I\)
сила тока
А
\(U\)
напряжение
В
\(R\)
сопротивление
Ом
\(\mathcal{E}\)
ЭДС источника
В
\(q\)
электрический заряд
Кл
ABR₁R₂R₃узелузел
Пример двух узлов A и B и трёх ветвей с сопротивлениями \(R_1\), \(R_2\), \(R_3\).

В цепи на рисунке напряжение между узлами A и B одинаково для всех трёх ветвей. Если ветви соединены параллельно, общий ток равен сумме токов в ветвях.

Законы для разветвлённых цепей

Перед решением полезно повторить правила Кирхгофа. Они обобщают закон сохранения электрического заряда и закон Ома для сложных цепей.

T
Первое правило Кирхгофа

В узле сумма токов, входящих в узел, равна сумме токов, выходящих из него: заряд не накапливается. Для двух ветвей это записывают как \(I=I_1+I_2\).

\[\sum I_{\text{вход}}=\sum I_{\text{выход}}\]
T
Второе правило Кирхгофа

В замкнутом контуре алгебраическая сумма падений напряжения равна алгебраической сумме ЭДС. Знаки зависят от выбранного направления обхода контура.

\[\sum \mathcal{E}=\sum IR\]
T
Закон Ома для участка цепи

Сила тока на участке прямо пропорциональна напряжению на участке и обратно пропорциональна его сопротивлению.

\[I=\frac{U}{R}\]

Для последовательного соединения ток одинаков во всех элементах, а напряжения складываются. Для параллельного соединения напряжение на всех ветвях одинаково, а токи складываются.

\[R_{\text{посл}}=R_1+R_2+\dots\]
\[\frac{1}{R_{\text{пар}}}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\dots\]
\[R_{\text{пар}}=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}\]
Проверь себя

Два резистора \(6\ \text{Ом}\) и \(3\ \text{Ом}\) соединены параллельно. Каково их общее сопротивление?

Алгоритм решения задачи

  1. Изобразите схему или внимательно прочитайте данную. Отметьте узлы, ветви, источники и сопротивления.
  2. Упростите очевидные последовательные и параллельные соединения. Если цепь нельзя свести к простым соединениям, применяйте правила Кирхгофа.
  3. Выберите направления токов в каждой независимой ветви. Направление можно выбрать произвольно.
  4. Запишите первое правило Кирхгофа для узлов. Обычно достаточно записать уравнение для всех узлов, кроме одного.
  5. Выберите независимые контуры и запишите для них второе правило Кирхгофа.
  6. Решите систему уравнений. При необходимости преобразуйте формулы: переносите слагаемые, раскрывайте скобки, приводите подобные члены.
  7. Проверьте размерность, знаки и физический смысл результата.
Как преобразовывать формулы

Если нужно выразить величину из формулы, выполняйте одинаковые действия с обеими частями. Например, из \(I=\frac{U}{R}\) сначала умножьте обе части на \(R\): \(IR=U\), затем получите \(R=\frac{U}{I}\). Числа подставляйте после буквенного преобразования.

Разобранный пример: две параллельные ветви

№
Условие

Источник с напряжением \(U=12\ \text{В}\) подключён к двум параллельным резисторам: \(R_1=6\ \text{Ом}\) и \(R_2=4\ \text{Ом}\). Найдите токи в ветвях и общий ток.

1
При параллельном соединении напряжение на каждой ветви равно напряжению источника.
\(\displaystyle U_1=U_2=U=12\ \text{В}\)
2
По закону Ома найдём ток в первой ветви.
\(\displaystyle I_1=\frac{U_1}{R_1}=\frac{12}{6}=2\ \text{А}\)
3
По закону Ома найдём ток во второй ветви.
\(\displaystyle I_2=\frac{U_2}{R_2}=\frac{12}{4}=3\ \text{А}\)
4
По первому правилу Кирхгофа общий ток равен сумме токов в ветвях.
\(\displaystyle I=I_1+I_2=2+3=5\ \text{А}\)
5
Проверим результат через эквивалентное сопротивление.
\(\displaystyle R_{\text{пар}}=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}=\frac{6\cdot4}{6+4}=2{,}4\ \text{Ом}\)
6
Закон Ома для всей цепи даёт тот же общий ток.
\(\displaystyle I=\frac{U}{R_{\text{пар}}}=\frac{12}{2{,}4}=5\ \text{А}\)

Ответ: \(I_1=2\ \text{А}\), \(I_2=3\ \text{А}\), \(I=5\ \text{А}\). Ток больше в ветви с меньшим сопротивлением — это согласуется с формулой \(I=U/R\).

Цепь с несколькими контурами

Если сопротивления нельзя объединить последовательным или параллельным соединением, вводят неизвестные токи и составляют систему. Например, для узла можно получить \(I_1-I_2-I_3=0\). Для каждого выбранного контура записывают уравнение вида \(\mathcal{E}-I_1R_1-I_2R_2=0\).

При обходе контура заранее выберите направление, например по часовой стрелке. При прохождении резистора по направлению тока записывают падение напряжения \(-IR\), а против тока — \(+IR\). При прохождении источника от минуса к плюсу записывают \(+\mathcal{E}\), от плюса к минусу — \(-\mathcal{E}\).

!
Частые ошибки

Не складывайте сопротивления параллельных ветвей напрямую. Не путайте общий ток с током одной ветви. Не утверждайте, что при параллельном соединении токи одинаковы: одинаковым является напряжение. Отрицательный ток в расчёте не означает ошибку — это значит, что настоящий ток направлен противоположно выбранному.

Быстрая проверка

При параллельном соединении \(R_{\text{пар}}\) меньше самого маленького сопротивления. При последовательном соединении \(R_{\text{посл}}\) больше каждого отдельного сопротивления.

Мощность на отдельном резисторе можно найти после определения тока и напряжения: \(P=UI=I^2R=U^2/R\). Если в условии спрашивают работу или мощность тока, используйте страницу задачи на работу и мощность тока и закон Джоуля — Ленца. Опасные режимы, например замыкание почти без сопротивления, разобраны на странице Короткое замыкание.

Q
Быстрый тест по теме

Итоговая проверка

~ 2 мин4 вопроса
Вопрос 1 / 4
Вопрос 1 из 4 · параллельное соединение
Что одинаково на всех ветвях параллельного соединения?
Главное за минуту

Главное

  • В разветвлённой цепи токи в ветвях могут быть разными, а в параллельных ветвях напряжение одинаково.
  • Для узлов применяют первое правило Кирхгофа, для контуров — второе правило Кирхгофа.
  • Сначала выбирайте направления токов и записывайте уравнения, затем решайте систему и проверяйте размерности.
  • При преобразовании формул выполняйте одинаковые действия с обеими частями равенства.
  • Проверяйте результат: при параллельном соединении общее сопротивление меньше наименьшего сопротивления.