Баллистический маятник
Баллистический маятник — устройство для определения большой скорости снаряда по наблюдаемому подъёму груза после удара. Метод состоит из двух этапов: сначала снаряд застревает в маятнике при неупругом соударении, а затем объединённая система поднимается, превращая кинетическую энергию в потенциальную.
Устройство и идея метода
Баллистический маятник представляет собой массивный груз, подвешенный на нити или лёгких стержнях. В груз попадает снаряд массой \(m\) и застревает в нём. Масса груза равна \(M\). До удара груз покоится, а снаряд движется горизонтально со скоростью \(v\). Сразу после удара снаряд и груз движутся вместе со скоростью \(u\), затем поднимаются на высоту \(h\).
Баллистический маятник — система «груз плюс снаряд», позволяющая найти скорость снаряда по высоте подъёма после их неупругого соударения.
Во время краткого удара применяют закон сохранения импульса, а во время последующего подъёма — закон сохранения механической энергии. Нельзя использовать один и тот же закон сразу для всего процесса без анализа этапов.
Два этапа движения
1. Неупругое соударение
Перед ударом импульс системы направлен горизонтально и равен \(mv\): груз покоится, поэтому его импульс равен нулю. После удара снаряд и груз движутся как единое целое массой \(M+m\) со скоростью \(u\). Если внешним импульсом за время удара можно пренебречь, то выполняется закон сохранения импульса.
Отсюда скорость системы сразу после удара:
Соударение неупругое, потому что снаряд застревает в грузе. Кинетическая энергия при этом не сохраняется: часть её превращается во внутреннюю энергию, звук и деформацию. Это частный случай неупругого соударения.
2. Подъём маятника
После удара снаряд и груз движутся вместе. В верхнем положении их скорость в наивысшей точке равна нулю. Если сопротивлением воздуха и трением в подвесе пренебречь, то кинетическая энергия сразу после удара переходит в потенциальную энергию:
Общая масса сокращается, поэтому скорость сразу после удара определяется только высотой подъёма:
Высоту \(h\) отсчитывают от нижнего положения центра масс системы до верхнего положения. Если маятник отклоняется на угол \(\alpha\), длина подвеса равна \(l\), то геометрически \(h=l(1-\cos\alpha)\).
Какой закон используют непосредственно во время удара снаряда о груз?
Формула скорости снаряда
Подставим выражение для \(u\) из второго этапа в закон сохранения импульса первого этапа. Получаем основную формулу баллистического маятника:
Скорость снаряда равна \(v=\frac{M+m}{m}\sqrt{2gh}\). Множитель \(\frac{M+m}{m}\) показывает, что лёгкий снаряд сообщает импульс значительно более тяжёлому маятнику.
Если масса снаряда намного меньше массы груза, то часто используют приближённую запись \(M+m\approx M\):
Однако в экзаменационной задаче сначала следует проверить, разрешено ли таким приближением пользоваться. Если дана точная масса снаряда, правильнее сохранять сумму \(M+m\).
Разобранный пример
Снаряд массой \(m=0{,}02\ \text{кг}\) попадает в груз массой \(M=3{,}98\ \text{кг}\) и застревает в нём. После удара маятник поднимается на \(h=0{,}20\ \text{м}\). Найдём скорость снаряда. Принять \(g=10\ \text{м/с}^2\).
В этом решении нельзя было сразу приравнять кинетическую энергию снаряда к потенциальной энергии маятника: удар неупругий, и часть энергии теряется. Сначала найденная скорость \(u\) относится к системе после удара, а затем по импульсу определяется исходная скорость снаряда.
Условия применимости и измерения
Закон сохранения импульса для удара применяют по горизонтальному направлению, если внешним импульсом за короткое время столкновения можно пренебречь. Силы тяжести и натяжения подвеса действуют, но их импульс за очень малое время удара обычно не успевает заметно изменить горизонтальный импульс системы.
На втором этапе важны начальная и конечная точки движения. В нижнем положении скорость максимальна, а потенциальную энергию удобно считать нулевой. В верхнем положении скорость равна нулю, поэтому вся механическая энергия выражается через \(mgh\). Если маятник поднимается не строго вертикально, формула для высоты через угол помогает избежать ошибок.
- Записать массы в килограммах, высоту — в метрах.
- Выбрать направление движения снаряда положительным.
- Указать, что после удара тела движутся вместе.
- Для удара использовать импульс, для подъёма — энергию.
- Проверить единицу ответа: скорость должна быть в м/с.
1. Сохраняют кинетическую энергию во время неупругого удара. Это неверно. 2. В импульсе после удара используют только массу груза \(M\), забывая снаряд: правильная масса равна \(M+m\). 3. Подставляют в формулу длину подвеса \(l\) вместо высоты \(h\). При заданном угле сначала находят \(h=l(1-\cos\alpha)\). 4. Используют сантиметры без перевода в метры. 5. Считают, что скорость \(u\) после удара — это исходная скорость снаряда \(v\).
Связь с другими темами
Задачи о баллистическом маятнике объединяют законы сохранения энергии и импульса. Для выбора границ системы полезно повторить импульс системы и внешние силы. Переход механической энергии в потенциальную связан с понятием механической энергии системы.
Метод работает лучше всего, когда удар происходит быстро, снаряд надёжно застревает, а потери энергии при последующем подъёме малы. При заметном сопротивлении воздуха или трении фактический подъём будет меньше идеального, и расчёт по школьной формуле даст приближённый результат.
Быстрая проверка
Проверь себя
Главное
- Баллистический маятник определяет скорость снаряда через неупругое соударение и последующий подъём.
- Во время удара используют \(mv=(M+m)u\).
- Во время подъёма используют \(\frac{(M+m)u^2}{2}=(M+m)gh\).
- Итоговая формула: \(v=\frac{M+m}{m}\sqrt{2gh}\).
- При заданном угле отклонения высота равна \(h=l(1-\cos\alpha)\).
- Ключевая последовательность решения: найти \(u\) по энергии, затем найти \(v\) по импульсу.