Знаки на числовой прямой
Знаки на числовой прямой показывают, какие числа являются решениями неравенства: вправо от точки обычно отмечают большие числа, влево — меньшие. Границу промежутка обозначают пустой или закрашенной точкой в зависимости от того, входит ли она в решение.
Как читать отметки
- Для \(x>a\) ставят пустую точку в \(a\) и выделяют луч вправо.
- Для \(x<a\) ставят пустую точку в \(a\) и выделяют луч влево.
- Для \(x\ge a\) ставят закрашенную точку в \(a\) и выделяют луч вправо.
- Для \(x\le a\) ставят закрашенную точку в \(a\) и выделяют луч влево.
Круглая скобка у границы соответствует пустой точке, а квадратная — закрашенной. Такой способ записи является записью числового промежутка. Для строгого неравенства используются знаки \(<\) и \(>\), поэтому граница не включается. Для нестрогого неравенства используются \(\le\) и \(\ge\), поэтому граница включается.
Решим неравенство \(2x-6\ge0\). Получаем \(2x\ge6\), то есть \(x\ge3\). На прямой отмечаем закрашенную точку \(3\) и выделяем луч вправо. Ответ: \([3;+\infty)\).
При умножении или делении неравенства на отрицательное число знак меняется на противоположный. Например, \(-x>2\) равносильно \(x<-2\), а не \(x> -2\). Направление луча определяют уже по окончательному знаку неравенства.
Как изобразить множество решений \(x\le-1\)?
При решении более сложных неравенств отметки на прямой помогают увидеть объединение или пересечение промежутков. В методе интервалов для многочлена знак выражения проверяют на каждом промежутке между критическими точками.
Главное
- Пустая точка означает, что граница не входит в решение; закрашенная — входит.
- Луч вправо соответствует большим значениям, луч влево — меньшим.
- Строгое неравенство даёт круглую границу, нестрогое — квадратную в записи промежутка.