Нулевые коэффициенты в многочлене
Нулевые коэффициенты показывают, что в многочлене отсутствуют члены с некоторыми степенями переменной. При записи многочлена в [[standard-form-polynomial:стандартном виде]] такие пропущенные степени можно обозначать слагаемыми с коэффициентом \(0\).
Как записывают пропущенные степени
Многочлен записывают по убыванию степеней: сначала член с наибольшей степенью, затем члены с меньшими степенями. Если какой-либо степени нет, её коэффициент считают равным нулю. Например, в записи \(4x^5-2x^3+7\) отсутствуют степени \(4\), \(2\) и \(1\).
Такая запись не изменяет значение выражения, потому что \(0x^k=0\). Она только делает видимыми все коэффициенты от старшей степени до свободного члена. Свободный член можно рассматривать как член степени \(0\): \(7=7x^0\).
Запишем с нулевыми коэффициентами многочлен \(3x^4-x+6\). Пропущены степени \(3\) и \(2\), поэтому получаем: \(3x^4+0x^3+0x^2-x+6\). Коэффициенты при степенях \(4\), \(3\), \(2\), \(1\) и \(0\) равны соответственно \(3\), \(0\), \(0\), \(-1\) и \(6\).
Нулевой коэффициент не означает, что степень многочлена равна нулю. Степень многочлена определяется его старшим ненулевым членом. Например, в \(5x^3+0x^2+0x+1\) степень равна \(3\), а не \(0\). Это связано с понятием [[degree-of-polynomial-expression:степени алгебраического выражения]].
Какая запись полностью показывает коэффициенты многочлена \(x^4-3x^2+2\)?
Главное
- Пропущенной степени соответствует нулевой коэффициент: \(0x^k\).
- Полная запись идёт по убыванию степеней и показывает все коэффициенты.
- Нулевые коэффициенты не меняют значение многочлена, а степень определяет старший ненулевой член.