ЕГЭОГЭЕНТ
РУҚА
Задание № 7 · ЕГЭ

Замена переменной в показательном неравенстве

Как заменить выражение со степенью и решить неравенство
2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Замена переменной в показательном неравенстве — это приём, который превращает неравенство со степенями в более простое алгебраическое неравенство. Обычно вместо повторяющегося выражения \(a^x\) вводят новую переменную \(t\).

Замена переменной в показательном неравенствеПеременная заменяется новым обозначением, чтобы упростить вид неравенства.
Приём решения, при котором выражение \(a^x\) или другое повторяющееся выражение со степенью обозначают новой переменной \(t\), учитывают условие на \(t\), решают полученное алгебраическое неравенство и возвращаются к переменной \(x\). Для основания показательной функции \(a>0\), \(a\ne1\) всегда выполняется \(a^x>0\), поэтому необходимо записать ограничение \(t>0\).

Основная схема

Приём часто используют в показательных неравенствах, где встречаются одинаковые степени, например \(a^{2x}\) и \(a^x\). Если положить \(t=a^x\), то \(a^{2x}=t^2\), а исходное неравенство станет квадратным или другим алгебраическим неравенством.

\[t=a^x,\qquad t>0\]
  1. Ввести замену \(t=a^x\) и записать ограничение \(t>0\).
  2. Выразить все степени через \(t\) и решить полученное неравенство.
  3. Вернуться к \(x\): решить равенства или неравенства вида \(a^x>c\) с учётом основания \(a\).
№
Пример

Решим неравенство \(2^{2x}-5\cdot2^x+6>0\). Положим \(t=2^x\), тогда \(t>0\), и получим \(t^2-5t+6>0\). Разложение даёт \((t-2)(t-3)>0\), поэтому \(t<2\) или \(t>3\). Возвращаемся к \(x\): \(2^x<2\) или \(2^x>3\). Так как основание \(2>1\), получаем \(x<1\) или \(x>\log_2 3\).

!
Не забудьте ограничение

Нельзя решать полученное квадратное неравенство по всем действительным \(t\): замена \(t=a^x\) допускает только \(t>0\). Кроме того, при возврате к \(x\) знак меняется при основании \(0<a<1\), поскольку показательная функция убывает.

Проверьте себя

Какое ограничение нужно записать при замене \(t=3^x\)?

Главное за минуту

Главное

  • При замене \(t=a^x\) обязательно записывают \(t>0\).
  • После алгебраического решения нужно вернуться к \(x\) и учесть, возрастает или убывает функция \(a^x\).
  • Приём особенно удобен, когда в неравенстве повторяются \(a^x\), \(a^{2x}\) и подобные выражения.