Задания № 16, 17 · ОГЭ

Биссектриса и медиана равнобедренного треугольника

Почему в равнобедренном треугольнике три линии из вершины совпадают

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

В равнобедренном треугольнике биссектриса, медиана и высота, проведённые из вершины между равными сторонами, — это одна и та же линия. Поэтому отрезок из этой вершины к основанию одновременно делит угол пополам, основание пополам и перпендикулярен основанию.

Пусть в равнобедренном треугольнике \(ABC\) равны боковые стороны \(AB=AC\), а \(BC\) — основание. Если из вершины \(A\) провести отрезок \(AD\) к основанию, то при условии, что \(AD\) является биссектрисой угла \(A\), он одновременно является медианой и высотой: \(BD=DC\) и \(AD\perp BC\). Обратно, медиана или высота, проведённая из вершины равных боковых сторон, также является биссектрисой.

Основное свойство

Равенство \(AB=AC\) означает симметрию треугольника относительно прямой \(AD\). При отражении относительно этой прямой вершина \(B\) переходит в вершину \(C\), поэтому равные части основания соединяются в одной точке \(D\), а углы при вершине \(A\) равны. Кроме того, ось симметрии перпендикулярна основанию. Это свойство входит в свойства равнобедренного треугольника.

\[AB=AC\quad\Longrightarrow\quad \angle BAD=\angle DAC,\quad BD=DC,\quad AD\perp BC\]

№

Пример

В треугольнике \(ABC\) стороны \(AB\) и \(AC\) равны, а \(BC=12\) см. Если \(AD\) — биссектриса угла \(A\), то она является и медианой, поэтому \(BD=DC=6\) см. Одновременно \(AD\) — высота: угол между \(AD\) и \(BC\) равен \(90^\circ\).

Не путайте

В произвольном треугольнике биссектриса, медиана и высота из одной вершины обычно различны. Их совпадение гарантировано именно для равнобедренного треугольника и для вершины, между равными сторонами. Медиана из другой вершины такого свойства не имеет.

Проверьте себя

В равнобедренном треугольнике \(AB=AC\). Что можно утверждать об отрезке \(AD\), если \(D\) — середина основания \(BC\)?

Главное за минуту

Главное

В равнобедренном треугольнике из вершины между равными сторонами биссектриса, медиана и высота совпадают.
Эта линия делит основание пополам, угол при вершине пополам и перпендикулярна основанию.
В общем треугольнике такое совпадение не является обязательным.