Тангенс через синус и косинус
Тангенс угла — это отношение синуса этого угла к его косинусу. Тангенс определён только для тех углов, у которых косинус не равен нулю.
Формула и область определения
Косинус равен нулю при \(\alpha=\frac{\pi}{2}+\pi k\), где \(k\in\mathbb{Z}\). Поэтому в этих точках тангенс не существует. В остальных точках он может принимать любые действительные значения. Период тангенса равен \(\pi\): \(\tan(\alpha+\pi)=\tan\alpha\).
Для преобразований удобно использовать основное тригонометрическое тождество \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\). Например, если известен косинус и знак синуса, можно найти синус, а затем вычислить тангенс. Формула тангенса входит в систему основных тригонометрических тождеств.
Пусть \(\sin\alpha=\frac{3}{5}\) и \(\cos\alpha=\frac{4}{5}\). Тогда \(\tan\alpha=\frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}}=\frac{3}{4}\). Если косинус равен \(0\), деление невозможно, поэтому значение тангенса не определено.
Тангенс — это не отношение косинуса к синусу. Выражение \(\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\) задаёт котангенс, и он существует только при \(\sin\alpha\ne0\).
При каком условии выражение \(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\) имеет смысл?
Главное
- \(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\) при \(\cos\alpha\ne0\).
- Тангенс не определён при \(\alpha=\frac{\pi}{2}+\pi k\), \(k\in\mathbb{Z}\).
- Тангенс имеет период \(\pi\) и не равен котангенсу.