Задание № 18 · ЕГЭ

Системы тригонометрических уравнений

Определение и основные приёмы решения систем с тригонометрическими функциями

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Система тригонометрических уравнений — это несколько уравнений, в которых неизвестные входят в аргументы или значения синуса, косинуса, тангенса и других тригонометрических функций. Её решение состоит в нахождении всех наборов переменных, одновременно удовлетворяющих каждому уравнению системы.

Система тригонометрических уравнений

Совокупность двух или более тригонометрических уравнений с общими неизвестными, записанных в фигурной скобке. Решением системы является упорядоченный набор чисел, при подстановке которого все уравнения становятся верными.

Перед решением полезно повторить тригонометрические уравнения: формулы корней, периодичность функций и ограничения на значения синуса и косинуса. Важно учитывать область допустимых значений, особенно если в системе есть тангенс, котангенс или дроби.

Основные приёмы

Выразить одну тригонометрическую величину через другую и подставить во второе уравнение.
Использовать тождества \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\), формулы двойного угла и преобразования суммы или разности.
Ввести замену \(u=\sin x\), \(v=\cos x\), после чего учесть условие \(u^2+v^2=1\).
Рассмотреть систему графически или свести её к одному уравнению, а затем проверить найденные корни в исходной системе.

\[\sin^2 x+\cos^2 x=1,\qquad -1\le \sin x\le 1,\qquad -1\le \cos x\le 1\]

№

Короткий пример

Решим систему \(\begin{cases}\sin x+\cos y=1,\\ \sin x-\cos y=0.\end{cases}\) Сложив уравнения, получаем \(2\sin x=1\), то есть \(\sin x=\frac12\). Вычитая второе уравнение из первого, получаем \(2\cos y=1\), то есть \(\cos y=\frac12\). Далее записывают общие серии решений для каждого уравнения и объединяют их попарно.

Не перепутайте

Система — не то же самое, что совокупность уравнений: в системе нужны решения, общие для всех строк. Кроме того, нельзя без проверки сокращать выражения на \(\sin x\), \(\cos x\) или другую величину: она может быть равна нулю и тогда часть решений потеряется.

Проверьте себя

Какое условие обязательно учитывать при замене \(u=\sin x\), \(v=\cos x\)?

После получения решений нужно проверить ограничения и подставить ответы в исходную систему. Такой контроль особенно важен после возведения уравнений в квадрат, деления на выражение с переменной и применения обратных тригонометрических функций. Тема входит в общий раздел систем уравнений и неравенств.

Главное за минуту

Главное

Система тригонометрических уравнений требует одновременного выполнения всех её уравнений.
Основные инструменты — тригонометрические тождества, замена \(\sin x=u\), \(\cos x=v\) и выражение одной величины через другую.
После преобразований обязательно проверяйте ограничения и найденные решения в исходной системе.