Полупериметр

Полупериметр — это величина, равная половине периметра геометрической фигуры. Для треугольника с длинами сторон a, b и c полупериметр обозначают буквой s и вычисляют по формуле \(s=\dfrac{a+b+c}{2}\). В общем случае для любой многоугольной ломаной или замкнутого многоугольника полупериметр равен половине суммы длин всех сторон, то есть половине периметра: \(s=\dfrac{P}{2}\). Понятие полупериметра удобно тем, что многие формулы в планиметрии и стереометрии записываются более компактно именно через s.

Полупериметр играет ключевую роль при вычислении площади треугольника через формулу Герона: если известны три стороны, то площадь S можно найти по формуле \(S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\). Эта запись выглядит гораздо проще и нагляднее при введении s, поскольку подкоренное выражение содержит множители вида (s−a), (s−b), (s−c). Кроме того, если известно радиус вписанной окружности r, то площадь треугольника также выражается через полупериметр: \(S=r\,s\), что удобно при задачах на отношения между площадью и радиусом. Для вписанного в окружность четырёхугольника (циклического) существует аналог Герона — формула Брахмагупты, где также используется полупериметр: \(S=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}\). Наконец, величина s помогает задавать и внешние радиусы треугольника: радиус вневписанной окружности, касающейся стороны a, выражается через полупериметр и площадь формулой \(r_a=\dfrac{S}{s-a}\) (здесь S — площадь треугольника).