Задания № 13, 15 · ЕГЭ

Площадь сечения параллелепипеда

Как построить сечение параллелепипеда и найти его площадь

6 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Площадь сечения параллелепипеда находят после построения многоугольника сечения: сначала определяют его вершины на рёбрах или гранях, затем вычисляют длины сторон и используют формулу площади подходящей фигуры. В задачах ЕГЭ важно отличать площадь сечения от площади поверхности всего тела и правильно учитывать наклон сечения.

Что называют сечением

Сечение многогранника — это многоугольник, полученный при пересечении многогранника плоскостью. Для параллелепипеда сечение может быть треугольником, четырёхугольником, пятиугольником или шестиугольником. Чаще всего в экзаменационных задачах встречается четырёхугольное сечение.

Определение

Сечением параллелепипеда называется многоугольник, стороны которого лежат на гранях параллелепипеда, а вершины находятся на его рёбрах или совпадают с вершинами параллелепипеда.

Построение сечения связано с темой сечения параллелепипеда и обычно выполняется по заданным точкам. Если две точки сечения лежат на одной грани, их соединяют отрезком. Если точки лежат на противоположных гранях, используют параллельность соответствующих рёбер и свойства параллельных плоскостей.

Четырёхугольное сечение MNPQ параллелепипеда.

Как строить сечение

Пусть точки сечения заданы на рёбрах параллелепипеда. Работайте последовательно по граням, не соединяя точки, которые не принадлежат одной грани. После построения проверьте, что полученная ломаная замкнута и каждая её сторона находится в грани параллелепипеда.

Отметьте все заданные точки на рисунке и подпишите их.
На каждой грани соедините две точки, принадлежащие этой грани.
Если на грани есть только одна известная точка, найдите вторую точку сечения через параллельность рёбер или продолжение уже построенной линии.
Замкните многоугольник сечения и определите вид фигуры: треугольник, параллелограмм, прямоугольник, трапеция или другая фигура.
Найдите длины сторон и высоты сечения, затем вычислите площадь.

Полезное правило параллельности

Если плоскость сечения пересекает две параллельные грани по отрезкам, то эти отрезки параллельны. Если сечение проходит через параллельные рёбра, соответствующие стороны сечения также параллельны.

В прямоугольном параллелепипеде стороны сечения часто вычисляют по теореме Пифагора. Для пространственной диагонали и диагоналей граней полезны сведения со страницы диагонали параллелепипеда. Формулы площадей граней и прямоугольных фигур повторяют материал о площади поверхности призмы, который стоит повторить заранее.

Основные формулы площади

После построения нужно распознать фигуру сечения. Наиболее часто используются следующие формулы.

\[S_{\text{прямоугольника}}=ab\]

\[S_{\text{параллелограмма}}=ah=a b\sin\alpha\]

\[S_{\text{треугольника}}=\frac{1}{2}ah\]

\[S_{\text{трапеции}}=\frac{a+b}{2}\cdot h\]

Здесь \(a\) и \(b\) — стороны или основания фигуры, \(h\) — соответствующая высота, а \(\alpha\) — угол между сторонами параллелограмма. Высота должна быть перпендикулярна основанию в плоскости сечения, а не обязательно совпадать с высотой параллелепипеда.

Запомните

Площадь сечения считают в его собственной плоскости. Ребро параллелепипеда можно использовать как высоту сечения только тогда, когда оно перпендикулярно выбранному основанию сечения.

Проверь себя

Сечение прямоугольного параллелепипеда является параллелограммом со сторонами \(6\) и \(8\), а угол между ними равен \(30^\circ\). Чему равна его площадь?

Разобранный пример: диагональное сечение

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед \(ABCD A_1B_1C_1D_1\) с рёбрами \(AB=6\), \(AD=8\), \(AA_1=10\). Найдём площадь диагонального сечения \(ACC_1A_1\). Это сечение проходит через диагональ основания \(AC\) и два вертикальных ребра.

№

Условие и идея решения

Сечение \(ACC_1A_1\) — прямоугольник: \(AC\) лежит в основании, а \(AA_1\) перпендикулярно плоскости основания и, следовательно, перпендикулярно \(AC\). Поэтому площадь равна произведению диагонали основания на высоту параллелепипеда.

Найдём диагональ прямоугольного основания \(ABCD\) по теореме Пифагора.

\(\displaystyle AC=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10\)

Стороны сечения \(ACC_1A_1\) равны \(AC\) и \(AA_1\). Они перпендикулярны, поэтому сечение является прямоугольником.

\(\displaystyle AC\perp AA_1\)

Вычислим площадь прямоугольника.

\(\displaystyle S_{ACC_1A_1}=AC\cdot AA_1=10\cdot10=100\)

Ответ: \(100\). Обратите внимание: площадь сечения не равна площади боковой грани \(6\cdot10\) или \(8\cdot10\). Одна сторона сечения — диагональ основания, а не его ребро.

Наклонное сечение и дополнительные построения

Если сечение наклонено к основанию, его стороны могут быть диагоналями граней или отрезками, соединяющими точки на разных рёбрах. Тогда сначала вычисляют длины этих отрезков. В прямоугольном параллелепипеде удобно вводить координаты: например, вершины можно задать как \((0,0,0)\), \((a,0,0)\), \((0,b,0)\) и \((0,0,c)\).

\[AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}\]

После нахождения сторон выбирают способ вычисления площади. Для параллелограмма достаточно стороны и высоты. Если высоту трудно увидеть на пространственном чертеже, можно опустить перпендикуляр внутри плоскости сечения или разложить сечение на треугольники.

Приём для сложного сечения

Разбейте многоугольник сечения на простые фигуры: треугольники, прямоугольники и трапеции. Сумма их площадей даст площадь сечения, если внутренние части не перекрываются.

Для проверки результата иногда полезно сначала найти периметр сечения, но периметр сам по себе не определяет площадь. Например, разные фигуры могут иметь одинаковый периметр и разные площади.

Частые ошибки

Ошибка 1. Соединять любые соседние точки

Точки соединяют только тогда, когда они лежат на одной грани сечения. Отрезок между точками на разных гранях может проходить вне поверхности или не быть стороной сечения.

Ошибка 2. Принимать ребро за высоту

Высота сечения — это перпендикуляр к основанию внутри плоскости сечения. Вертикальное ребро параллелепипеда не всегда перпендикулярно наклонной стороне сечения.

Ошибка 3. Путать площадь сечения и площадь поверхности

Площадь сечения относится к одному многоугольнику внутри тела. Площадь полной поверхности включает все грани; общие правила изложены на странице площади полной поверхности многогранника.

Ошибка 4. Не проверять вид фигуры

Перед подстановкой в формулу докажите, что сечение является прямоугольником, параллелограммом или трапецией. Равенство отдельных сторон ещё не всегда означает нужный вид фигуры.

Алгоритм решения экзаменационной задачи

Сделать пространственный рисунок и отметить заданные точки.
Построить все стороны сечения, используя принадлежность одной грани и параллельность.
Определить форму сечения и выписать известные элементы.
Вычислить недостающие длины по теореме Пифагора, свойствам параллелограмма или координатной формуле.
Выбрать формулу площади и проверить единицы измерения: квадратные сантиметры, квадратные метры и т. п.

Быстрый тест по теме

Быстрая проверка

~ 2 мин4 вопроса

Вопрос 1 / 4

Вопрос 1 из 4 · формулы

Какой формулой находят площадь параллелограмма со сторонами \(a,b\) и углом \(\alpha\) между ними?

Главное за минуту

Главное

Сечение параллелепипеда — многоугольник, полученный пересечением тела с плоскостью.
Сначала строят замкнутый многоугольник сечения, затем определяют его вид и размеры.
Для площади используют формулы прямоугольника, параллелограмма, треугольника или трапеции.
Диагональные сечения часто становятся прямоугольниками; диагональ основания находят по теореме Пифагора.
Нельзя автоматически считать ребро параллелепипеда высотой сечения: перпендикулярность нужно обосновать.