Тапсырмалар № 12, 13 · ЕГЭ

Площадь сечения конуса

Как находить площадь осевого и параллельного основанию сечения конуса

2 мин чтенияҚиындық: Обновлено 27 қыркүйек 2026

Площадь сечения конуса зависит от положения секущей плоскости. Для осевого сечения она равна произведению радиуса основания на высоту конуса, а для сечения, параллельного основанию, вычисляется как площадь круга меньшего радиуса.

Площадь сечения конуса — это площадь фигуры, полученной при пересечении конуса плоскостью. В задачах чаще рассматривают конус, его осевое сечение и сечение плоскостью, параллельной основанию. Общее понятие описано на странице сечение конуса.

Основные формулы

Пусть \(R\) — радиус основания конуса, \(H\) — его высота.

\[S_{\text{осев.}}=\frac{1}{2}\cdot 2R\cdot H=RH\]

Осевое сечение проходит через вершину и ось конуса. Оно является равнобедренным треугольником с основанием \(2R\) и высотой \(H\).

\[S_{\parallel}=\pi r^2=\pi R^2\frac{h^2}{H^2}\]

Если плоскость параллельна основанию и находится на расстоянии \(h\) от вершины, то радиус полученного кругового сечения равен \(r=\frac{R h}{H}\). Поэтому площадь сечения равна \(\pi r^2\). При \(h=H\) получается основание конуса, а при \(h=0\) сечение вырождается в точку.

№

Пример

Радиус основания конуса равен \(5\) см, высота — \(12\) см. Площадь осевого сечения: \(S=RH=5\cdot12=60\) см². Если параллельное основанию сечение находится на расстоянии \(6\) см от вершины, его радиус \(r=5\cdot\frac{6}{12}=2{,}5\) см, а площадь \(S=\pi\cdot2{,}5^2=6{,}25\pi\) см².

Не перепутайте

Осевое сечение — не круг, а треугольник. Круг получается при сечении плоскостью, параллельной основанию. Также не следует использовать наклонную высоту вместо высоты \(H\): площадь треугольника осевого сечения опирается именно на перпендикулярную высоту конуса.

Проверьте себя

Радиус основания конуса равен \(4\), высота — \(7\). Чему равна площадь осевого сечения?

Главное за минуту

Главное

Осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник с площадью \(S=RH\).
Сечение, параллельное основанию, — круг с площадью \(S=\pi R^2\frac{h^2}{H^2}\).
В формуле для осевого сечения используется высота конуса, а не образующая.