Параллелограмм Вариньона (теорема Вариньона)

Формулировка теоремы

Рассмотрим произвольный выпуклый или невыпуклый четырёхугольник с вершинами A, B, C, D. Пусть на сторонах этого четырёхугольника взяты середины. Соединив эти середины по порядку, получаем четырёхугольник, который по теореме Вариньона всегда является параллелограммом.

Для компактной записи средних точек удобно использовать векторные обозначения. Если обозначить через \(\vec{OM} = \frac{\vec{OA}+\vec{OB}}{2}\) координату середины стороны AB, через \(\vec{ON} = \frac{\vec{OB}+\vec{OC}}{2}\) середину BC, через \(\vec{OP} = \frac{\vec{OC}+\vec{OD}}{2}\) середину CD и через \(\vec{OQ} = \frac{\vec{OD}+\vec{OA}}{2}\) середину DA, то векторные соотношения приведут к простому доказательству теоремы.

Схематическое изображение ситуации можно представить на рисунке:.

Векторное доказательство

Пусть O — произвольный начало координат (или просто фиксированный начальный векторный пункт). Тогда координаты положений средних точек выражаются в виде векторных сумм. Для середины AB имеем \(\vec{OM} = \frac{\vec{OA}+\vec{OB}}{2}\), для середины BC — \(\vec{ON} = \frac{\vec{OB}+\vec{OC}}{2}\), для середины CD — \(\vec{OP} = \frac{\vec{OC}+\vec{OD}}{2}\), для середины DA — \(\vec{OQ} = \frac{\vec{OD}+\vec{OA}}{2}\).

Вычитая векторы позиционирования соседних средних точек, получаем вектор стороны полученного четырёхугольника. Например, вектор от первой средней точки к второй равен \(\vec{MN} = \vec{ON}-\vec{OM} = \frac{\vec{OC}-\vec{OA}}{2}\). Аналогично, соседняя сторона задаётся формулой \(\vec{NP} = \frac{\vec{OD}-\vec{OB}}{2}\).

Но значения в правых частях этих равенств пропорциональны векторам диагоналей исходного четырёхугольника: вектор \(\vec{MN} = \frac{\vec{AC}}{2}\) параллелен диагонали AC исходного четырёхугольника, а вектор \(\vec{NP} = \frac{\vec{BD}}{2}\) параллелен диагонали BD. Поскольку противоположные стороны полученного четырёхугольника попарно равны и параллельны (векторы противоположных сторон совпадают по модулю и направлению), этот четырёхугольник является параллелограммом.

Координатное доказательство

Можно доказать теорему и в декартовых координатах. Пусть вершины исходного четырёхугольника заданы координатами A(x_A,y_A), B(x_B,y_B), C(x_C,y_C), D(x_D,y_D). Тогда координаты средних точек можно записать в явном виде: \(M\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)\) и \(N\left(\frac{x_B+x_C}{2},\frac{y_B+y_C}{2}\right)\) для двух соседних средних точек.

Вычитая координаты, получаем вектор между средними точками: \(\vec{MN} = \left(\frac{x_C-x_A}{2},\frac{y_C-y_A}{2}\right)\). Аналогично для следующей стороны получаем \(\vec{NP} = \left(\frac{x_D-x_B}{2},\frac{y_D-y_B}{2}\right)\). Из соотношений видно, что эти векторы параллельны соответствующим диагоналям и взаимно попарно равны по модулю и направлению, что и даёт требуемый параллелограмм.

Координатный метод удобен также для явных вычислений и проверки численных примеров — следующие примеры это иллюстрируют.

Соотношение площадей

Одно из важных следствий теоремы Вариньона — простое соотношение площадей. Если через S_{ABCD} обозначить площадь исходного четырёхугольника, а через S_{MNPQ} — площадь параллелограмма, составленного из середин его сторон, то между этими площадями существует фиксированное соотношение.

Доказательство удобно проводить через векторы диагоналей. Обозначив вектор диагонали AC и диагонали BD как соответствующие векторные величины, площадь исходного четырёхугольника выражается формулой \(S_{ABCD} = \frac{1}{2}\,\left|\vec{AC}\times\vec{BD}\right|\). Площадь параллелограмма средних точек равна модулю векторного произведения половин диагоналей: \(S_{MNPQ} = \left|\frac{\vec{AC}}{2}\times\frac{\vec{BD}}{2}\right|\).

Из этих двух выражений следует простое равенство: \(S_{MNPQ} = \frac{1}{2}\,S_{ABCD}\). То есть площадь параллелограмма Вариньона всегда равна половине площади исходного четырёхугольника — независимо от формы исходного четырёхугольника (выпуклый или невыпуклый).

Частные случаи и следствия

Если исходный четырёхугольник является параллелограммом, то диагонали этого параллелограмма пересекаются и делят друг друга пополам, что влечёт за собой дополнительную симметрию для параллелограмма Вариньона. В частности, в этом случае параллелограмм средних точек является ромбом.

Если исходный четырёхугольник — прямоугольник или ромб, то параллелограмм Вариньона сохраняет соответствующие свойства симметрии: в прямоугольнике полученный параллелограмм будет ромбом, в ромбе — прямоугольником только в частных случаях (при дополнительной симметрии исходного четырехугольника). Общая схема следствий опирается на уже доказанные параллельность сторон и соотношение площадей.

Примеры и задачи

Дополнительные упражнения: докажите теорему Вариньона для самопересекающегося (звёздного) четырёхугольника, исследуйте, при каких условиях параллелограмм Вариньона является прямоугольником или ромбом, практикуйтесь в вычислении площадей с использованием векторного произведения диагоналей.