Задания № 13, 18 · ЕГЭ

Однородные тригонометрические уравнения

Определение, формула и алгоритм решения однородных уравнений с синусом и косинусом

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Однородное тригонометрическое уравнение — это уравнение, в котором все слагаемые содержат синус и косинус в одинаковой суммарной степени. Обычно его решают делением на подходящую степень синуса или косинуса, после чего получают уравнение относительно \(\tan x\) или \(\cot x\).

Однородное тригонометрическое уравнение

Уравнение вида \(a\sin^n x+b\sin^{n-1}x\cos x+\ldots+c\cos^n x=0\), где во всех слагаемых суммарная степень множителей \(\sin x\) и \(\cos x\) равна \(n\). Для решения выражение делят на \(\cos^n x\) или \(\sin^n x\), предварительно проверив случаи, когда делитель равен нулю.

Основная формула и алгоритм

\[a\sin^n x+b\sin^{n-1}x\cos x+\ldots+c\cos^n x=0\]

Если делим на \(\cos^n x\), то рассматриваем случай \(\cos x\ne0\) и заменяем отношения \(\frac{\sin x}{\cos x}\) на \(\tan x\). Если делим на \(\sin^n x\), то отдельно учитываем случай \(\sin x=0\), а затем используем \(\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}\). После решения полученного уравнения найденные значения обязательно проверяют в исходном.

Определите общую степень синуса и косинуса в каждом слагаемом.
Выберите деление на степень синуса или косинуса.
Отдельно проверьте значения, при которых делитель равен нулю.
Решите полученное уравнение относительно тангенса или котангенса и запишите общий ответ.

№

Пример

Решим \(\sin^2x-3\sin x\cos x+2\cos^2x=0\). При \(\cos x=0\) исходное уравнение даёт \(1\ne0\), поэтому такие значения не подходят. При \(\cos x\ne0\) делим на \(\cos^2x\): \(\tan^2x-3\tan x+2=0\). Отсюда \(\tan x=1\) или \(\tan x=2\). Ответ: \(x=\frac{\pi}{4}+\pi k\) или \(x=\arctan2+\pi k\), \(k\in\mathbb Z\).

Не потеряйте решения

Деление на \(\sin^n x\) или \(\cos^n x\) без отдельной проверки запрещено: можно потерять корни. Например, при делении на \(\cos^2x\) нужно сначала рассмотреть \(\cos x=0\). Не путайте однородность с основными тригонометрическими уравнениями: здесь сначала выполняют приведение к тангенсу или котангенсу.

Проверьте себя

Что нужно сделать перед делением однородного уравнения на \(\cos^n x\)?

Тема является частью тригонометрических уравнений. Перед ней полезно повторить основные тригонометрические уравнения, формулы тангенса и общий вид решений.

Главное за минуту

Главное

Во всех слагаемых однородного уравнения одинаковая суммарная степень синуса и косинуса.
Деление на степень синуса или косинуса сводит уравнение к алгебраическому относительно \(\tan x\) или \(\cot x\).
Значения, при которых делитель равен нулю, всегда проверяют отдельно.