Общий множитель

Общий множитель — это число или алгебраическое выражение, которое является множителем для двух или более данных чисел или выражений. Проще говоря, если некоторый элемент a при умножении на другие числа или выражения даёт оба исходных объекта, то a называется общим множителем этих объектов. Для целых чисел понятие общего множителя тесно связано с разложением на простые множители: при разложении двух чисел на простые сомножители общий множитель получается из общих простых сомножителей с минимальными степенями. Например, разложения чисел 12 и 18 можно записать как \(12=2^2\cdot3\) и \(18=2\cdot3^2\), а их наибольший общий делитель равен \(\gcd(12,18)=6\), который сам раскладывается как \(6=2\cdot3\). Кроме положительных чисел, в теории рассматривают и отрицательные общие множители, а тривиальным общим множителем для любых целых чисел является 1 (и −1, если учитывать знак).

Общий множитель важен в разных задачах: при вынесении общего множителя за скобки упрощается вид выражения и становятся очевидны дальнейшие шаги решения, при сокращении дробей надо найти общие множители числителя и знаменателя, а в алгоритмах вычисления НОД (наибольшего общего делителя) используются свойства общих множителей и алгоритм Евклида. Вынесение множителя опирается на распределительный закон, например \(ab+ac=a(b+c)\). В алгебре это проявляется и для многочленов: если у каждого слагаемого многочлена есть общий множитель, его можно вынести за скобки, например \(x^2+2x=x(x+2)\). Связь НОД и НОК для целых чисел выражается формулой, полезной при работе с общими множителями: \(a\cdot b=\gcd(a,b)\cdot\operatorname{lcm}(a,b)\).