Объём конусного тела
Объём конусного тела — это величина, показывающая, сколько места занимает конус в пространстве. Он равен одной трети объёма цилиндра с таким же основанием и высотой.
Формула
Здесь \(V\) — объём конуса, \(S\) — площадь его основания, а \(h\) — высота, то есть перпендикуляр от вершины к плоскости основания. Если основание — круг радиуса \(R\), то \(S=\pi R^2\), поэтому формула принимает вид:
Конус и цилиндр с одинаковыми площадями оснований и одинаковыми высотами связаны формулой \(V_{\text{конуса}}=\frac{1}{3}V_{\text{цилиндра}}\). Поэтому объём цилиндра с такими параметрами равен \(Sh\), а объём конуса — \(\frac{1}{3}Sh\).
Радиус основания конуса равен \(3\) см, высота — \(4\) см. Тогда \(S=\pi\cdot3^2=9\pi\) см², а \(V=\frac{1}{3}\cdot9\pi\cdot4=12\pi\) см³. Ответ: \(12\pi\) см³.
В формулу входит именно высота \(h\), перпендикулярная основанию, а не образующая конуса. Образующая используется, например, при нахождении площади поверхности, но сама по себе не заменяет высоту.
Во сколько раз объём конуса меньше объёма цилиндра с теми же основанием и высотой?
Главное
- Объём конуса вычисляют по формуле \(V=\frac{1}{3}Sh\).
- Для круглого основания используют формулу \(V=\frac{1}{3}\pi R^2h\).
- Конус с теми же основанием и высотой имеет объём, равный одной трети объёма цилиндра.