Нахождение доли от числа
Чтобы найти часть величины по её доле, нужно умножить всю величину на эту долю. Доля может быть записана обыкновенной или десятичной дробью, а также процентами, которые сначала удобно преобразовать в дробь.
Что такое доля величины
Доля показывает, какую часть целого рассматривают. Если величину разделили на \(b\) равных частей и взяли \(a\) таких частей, то доля равна \(\frac{a}{b}\). Число \(a\) называют числителем, а число \(b\) — знаменателем. Знаменатель показывает, на сколько равных частей разделили целое, а числитель — сколько таких частей взяли.
Найти долю от числа — значит найти часть величины, соответствующую заданной дроби. Если вся величина равна \(A\), а её доля равна \(\frac{a}{b}\), то искомая часть равна произведению \(A\) и \(\frac{a}{b}\).
Например, \(\frac{3}{5}\) от 20 — это \(20\cdot\frac{3}{5}=12\). Сначала можно найти одну пятую: \(20:5=4\), затем взять три такие части: \(4\cdot3=12\).
Основной алгоритм
Алгоритм подходит для задач о расстоянии, массе, количестве предметов, деньгах, времени и других величинах.
- Определите всю величину. Обозначим её через \(A\).
- Запишите долю. Если она дана процентами, преобразуйте проценты в дробь: \(p\%=\frac{p}{100}\).
- Умножьте всю величину на долю.
- Проверьте единицы измерения и смысл ответа: часть целого не должна быть больше целого, если доля не превышает 1.
Если доля записана десятичной дробью \(q\), используйте формулу \(B=A\cdot q\). Например, \(0{,}4\) от 70 равно \(70\cdot0{,}4=28\).
Нахождение доли, заданной процентами
[[procent-kak-dolya:Процент как долю]] нужно понимать как сотую часть целого. Поэтому \(1\%=\frac{1}{100}\), \(7\%=\frac{7}{100}\), а \(125\%=\frac{125}{100}=1{,}25\).
Чтобы найти \(p\%\) от числа \(A\), умножьте \(A\) на \(\frac{p}{100}\) или разделите \(A\) на 100 и умножьте результат на \(p\).
Например, 18% от 250 можно вычислить так: \(250\cdot\frac{18}{100}=45\). Иногда полезно заменить процент удобной дробью: \(25\%=\frac14\), поэтому 25% от 80 — это \(80:4=20\).
Чтобы найти часть величины, заданную дробью, умножьте величину на эту дробь. Чтобы найти часть величины, заданную процентами, умножьте величину на число процентов и разделите на 100.
Чему равны 35% от 240?
Разобранный пример
Задача. В школьной библиотеке 360 книг. Из них \(\frac{5}{12}\) составляют учебные пособия. Сколько учебных пособий в библиотеке?
Вся величина — 360 книг. Искомая доля — \(\frac{5}{12}\). Значит, нужно найти \(\frac{5}{12}\) от 360.
Ответ: 150 учебных пособий. Проверка: \(\frac{5}{12}<1\), поэтому результат должен быть меньше 360; число 150 этому условию соответствует.
Если в задаче доля дана процентами, решение строится так же. Например, в классе 28 учеников, 75% из них посещают спортивную секцию: \(28\cdot\frac{75}{100}=21\). Для подобных сюжетов важно не путать нахождение части с [[nahozhdenie-procenta-po-chislam:нахождением процента по двум числам]]: там известны часть и целое, а здесь известны целое и доля.
Как решать текстовые задачи
В текстовой задаче сначала определите, что принято за целое. Это может быть всё количество товаров, вся длина маршрута, первоначальная сумма денег или весь объём работы. Затем найдите слова, указывающие на долю: «пятая часть», «\(\frac{3}{8}\) всех», «20% от числа», «0,6 величины».
- «Треть числа» означает умножение на \(\frac13\).
- «Две пятых пути» означает умножение длины пути на \(\frac25\).
- «40% от суммы» означает умножение суммы на \(\frac{40}{100}\).
- «0,15 всего количества» означает умножение количества на \(0{,}15\).
В задачах с предметами результат часто должен быть целым числом. Если вычисление даёт дробное количество неделимых предметов, проверьте условие и арифметику. Для величин, которые можно измерять непрерывно, например массы или длины, дробный ответ допустим.
Если знаменатель дроби легко делит целое число, сначала разделите целое на знаменатель, а затем умножьте на числитель. Так уменьшается риск ошибок: \(840\cdot\frac{3}{7}=(840:7)\cdot3=120\cdot3=360\).
В финансовых задачах доля может описывать часть суммы, скидку или начисление. Само нахождение части выполняется тем же правилом, но дальнейший вопрос может требовать учитывать [[procentnoe-uvelichenie:процентное увеличение]] или [[procentnoe-umenshenie:процентное уменьшение]]. Не смешивайте исходную сумму и уже изменённую величину.
Частые ошибки и проверка ответа
1. Умножают на число процентов без деления на 100: \(300\cdot20\) вместо \(300\cdot\frac{20}{100}\). 2. Делят на числитель, хотя делить нужно на знаменатель. 3. Принимают за целое не всю величину, а уже найденную часть. 4. Теряют единицы измерения. 5. Считают, что 5% — это \(0{,}5\), хотя \(5\%=0{,}05\).
Для быстрой проверки оцените долю. Если нужно найти 10% от 500, ответ должен быть около 50. Если получилось 5000, забыто деление на 100. Если доля равна \(\frac{3}{4}\), ответ должен быть примерно равен 75% исходной величины.
Доля от числа находится умножением: \(\text{часть}=\text{целое}\cdot\text{доля}\). Процент переводится в дробь делением на 100.
Связь с другими задачами на проценты
Нахождение доли от числа — базовый шаг для многих задач. Если требуется узнать, сколько процентов одна величина составляет от другой, это уже обратная ситуация. Если величина изменилась на несколько процентов, нужно определить, от какой величины отсчитывается изменение. В задачах о кредитах и платежах дополнительно встречаются [[finansovaya-zadacha:финансовые задачи]], [[pereplata-po-kreditu:переплата по кредиту]] и разные схемы платежей.
Итоговая проверка
Главное
- Доля показывает часть целого и записывается дробью, десятичной дробью или процентами.
- Чтобы найти часть от числа, умножьте всю величину на её долю.
- \(p\%\) заменяется на дробь \(\frac{p}{100}\), поэтому \(p\%\) от \(A\) равно \(A\cdot\frac{p}{100}\).
- В текстовой задаче сначала найдите целое, затем определите долю и только после этого выполняйте умножение.
- Проверяйте ответ оценкой: при доле меньше 1 найденная часть должна быть меньше целого.