Минимальный период
Минимальный период — это наименьшее положительное число, на которое можно сдвинуть аргумент функции так, чтобы значения функции не изменились. Иными словами, это самый маленький шаг повторения графика периодической функции.
Основная формула
Чтобы найти период, сравнивают функцию с базовыми периодическими функциями и учитывают изменение аргумента. Для синуса и косинуса используется правило:
Сдвиг аргумента на \(b\) и вертикальный сдвиг графика период не изменяют. Если функция состоит из нескольких периодических слагаемых, её общий период должен быть общим кратным их периодов. Минимальный период существует не у каждой функции: например, линейная функция с ненулевым угловым коэффициентом непериодична.
Найдём минимальный период функции \(f(x)=\sin 3x\). Здесь \(k=3\), поэтому \(T=\frac{2\pi}{3}\). Действительно, \(\sin(3(x+\frac{2\pi}{3}))=\sin(3x+2\pi)=\sin 3x\).
Период — не любое число, после которого функция повторяется, а минимальное положительное такое число. Если \(T\) — минимальный период, то \(2T\), \(3T\) и вообще \(nT\), где \(n\) — натуральное число, также являются периодами, но минимальным остаётся только \(T\). Кроме того, сдвиг графика не следует путать с периодом: в функции \(\sin(x+\frac{\pi}{4})\) период равен \(2\pi\), а \(\frac{\pi}{4}\) — лишь сдвиг.
Каков минимальный период функции \(y=\cos(2x-1)\)?
Главное
- Минимальный период — наименьший положительный \(T\), для которого \(f(x+T)=f(x)\).
- Для \(\sin(kx+b)\) и \(\cos(kx+b)\) он равен \(\frac{2\pi}{|k|}\).
- Сдвиги графика период не меняют; любое целое кратное периода также является периодом, но не обязательно минимальным.