Иррациональные неравенства
Иррациональное неравенство — это неравенство, в котором переменная содержится под знаком корня. Чтобы решить его, сначала находят область допустимых значений, а затем преобразуют неравенство с учётом знаков обеих частей.
Основное правило
При сравнении квадратного корня с числом важно учитывать знак правой части. Если \(a\ge0\), то возведение обеих частей в квадрат сохраняет равносильность: \(\sqrt{f(x)}\ge a\) равносильно системе \(\begin{cases}f(x)\ge a^2,\\ f(x)\ge0.\end{cases}\) Если \(a<0\), то неравенство \(\sqrt{f(x)}\ge a\) автоматически выполняется на всей области определения.
Для неравенств с двумя выражениями под корнями часто используют перенос слагаемых, проверку знаков и осторожное возведение в квадрат. Если преобразование не является равносильным, найденные значения обязательно проверяют в исходном неравенстве. В более сложных задачах полезны иррациональные неравенства с параметром.
Решим \(\sqrt{x+1}>2\). Область определения: \(x+1\ge0\), то есть \(x\ge-1\). Правая часть положительна, поэтому можно возвести обе части в квадрат: \(x+1>4\). Получаем \(x>3\). Жауабы: \((3;+\infty)\).
Нельзя без проверки возводить в квадрат обе части неравенства: при отрицательной правой части это может изменить смысл задачи. Например, \(\sqrt{x+1}>-2\) дұрыс для всех \(x\ge-1\), хотя после механического возведения в квадрат получится лишнее ограничение. Область определения — обязательный первый шаг.
Какое условие нужно добавить к неравенству \(\sqrt{x-3}\le2\) перед возведением в квадрат?
Главное
- Иррациональное неравенство содержит переменную под знаком корня.
- Сначала находят область определения; затем преобразуют неравенство, учитывая знаки частей.
- После возведения в квадрат результат проверяют, если преобразование не было равносильным.