Геометрическое место точек, равноудаленных от точки
Геометрическое место точек, равноудалённых от данной точки, — это окружность с центром в данной точке. Расстояние от центра до любой точки окружности называют радиусом.
Пусть \(O\) — центр окружности, а \(r\) — её радиус. Тогда любая точка \(X\) окружности удовлетворяет условию \(OX=r\). И наоборот: любая точка плоскости, для которой \(OX=r\), принадлежит этой окружности. Поэтому окружность полностью описывается двумя данными: центром и радиусом.
На координатной плоскости окружность с центром \(O(a,b)\) и радиусом \(r\) задаётся уравнением \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2.\) Здесь \((x,y)\) — координаты произвольной точки окружности.
Центр окружности — точка \(O(2,-1)\), радиус \(3\). Её уравнение: \((x-2)^2+(y+1)^2=9\). Точка \(A(2,2)\) принадлежит окружности, поскольку \(OA=3\).
[[circle-and-disk:Окружность и круг]] — не одно и то же. Окружность состоит только из точек, удалённых от центра ровно на \(r\). Круг включает также внутренние точки, для которых расстояние до центра не превосходит радиуса: \(OX\le r\).
Это частный случай [[distance-locus:геометрических мест точек, равноудалённых от объектов]]. В более общем изучении [[geometric-locus:геометрического места точек]] важно проверять оба направления: каждая точка искомого множества должна удовлетворять условию, и всякая точка, удовлетворяющая условию, должна входить в множество.
Какая точка принадлежит окружности с центром \(O\) и радиусом \(5\)?
Главное
- Окружность — геометрическое место точек, равноудалённых от центра.
- Расстояние от центра до любой точки окружности равно радиусу: \(OX=r\).
- В координатах окружность с центром \((a,b)\) и радиусом \(r\) задаётся формулой \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\).