Задания № 7, 13 · ЕГЭ

Дробно-рациональное уравнение

Определение, область допустимых значений и алгоритм решения

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Дробно-рациональное уравнение — это алгебраическое уравнение, в котором переменная входит в знаменатель одной или нескольких рациональных дробей. При его решении сначала находят область допустимых значений переменной, а затем устраняют знаменатели.

Дробно-рациональное уравнение«Рациональное» означает выраженное через отношения многочленов; «дробно-рациональное» подчёркивает наличие переменной в знаменателе.

Уравнение, обе части которого являются рациональными выражениями, содержащими дроби с многочленами в знаменателях, причём хотя бы в одном знаменателе есть переменная. Значения переменной, обращающие знаменатели в ноль, не входят в область допустимых значений уравнения.

Как решать

Сначала определяют область определения уравнения: каждый знаменатель приравнивают к нулю и исключают полученные значения. Затем находят общий знаменатель, умножают на него обе части уравнения и решают получившееся уравнение. В конце обязательно проверяют корни: они должны удовлетворять ОДЗ и исходному уравнению.

\[\frac{A(x)}{B(x)}=\frac{C(x)}{D(x)},\qquad B(x)\ne 0,\quad D(x)\ne 0\]

№

Пример

Решим уравнение \(\frac{2}{x-1}=\frac{3}{x+2}\). ОДЗ: \(x\ne1\) и \(x\ne-2\). Умножаем обе части на \((x-1)(x+2)\): \(2(x+2)=3(x-1)\). Отсюда \(2x+4=3x-3\), значит, \(x=7\). Это значение не нарушает ОДЗ, поэтому ответ: \(x=7\).

Не перепутайте

Дробно-рациональное уравнение является частным случаем уравнения с дробями. Нельзя просто сократить общий множитель, не учитывая ограничения на знаменатель. Например, при сокращении \(\frac{(x-2)(x+1)}{x-2}\) нужно сохранить условие \(x\ne2\).

Проверьте себя

Какое значение нужно исключить из ОДЗ уравнения \(\frac{x+1}{x-4}=2\)?

Главное за минуту

Главное

Дробно-рациональное уравнение содержит переменную в знаменателе рациональной дроби.
Сначала находят ОДЗ, затем умножают уравнение на общий знаменатель.
Полученные корни проверяют по ОДЗ и исходному уравнению.