Тапсырмалар № 18, 19 · ОГЭ

Теорема о вписанном четырехугольнике

Критерий вписанности через сумму противоположных углов

2 мин чтенияҚиындық: Обновлено 27 қыркүйек 2026

Теорема о вписанном четырехугольнике устанавливает связь между окружностью и углами четырехугольника: если четырехугольник вписан в окружность, то суммы его противоположных углов равны \(180^\circ\). Дұрыс и обратное утверждение.

Теорема о вписанном четырехугольникеНазвание связано с [[note:inscribed-quadrilateral|вписанным четырехугольником]] — четырехугольником, все вершины которого принадлежат одной окружности.

Если все вершины четырехугольника лежат на одной окружности, то суммы его противоположных углов равны \(180^\circ\): \(\angle A+\angle C=180^\circ\) и \(\angle B+\angle D=180^\circ\). Наоборот, если в выпуклом четырехугольнике сумма противоположных углов равна \(180^\circ\), то этот четырехугольник можно вписать в окружность.

Формула и смысл

Пусть \(ABCD\) — вписанный четырехугольник. Углы \(A\) и \(C\) опираются на дуги, которые вместе образуют всю окружность. Поэтому сумма этих углов равна половине полного угла, то есть \(180^\circ\). Аналогично доказывается равенство для углов \(B\) и \(D\). Для понимания используется понятие вписанного угла.

\[\angle A+\angle C=180^\circ,\qquad \angle B+\angle D=180^\circ.\]

№

Пример

В четырехугольнике \(ABCD\) угол \(A\) равен \(72^\circ\), а угол \(C\) равен \(108^\circ\). Так как \(72^\circ+108^\circ=180^\circ\), эти противоположные углы соответствуют критерию вписанности. Если четырехугольник выпуклый, его можно вписать в окружность.

Не перепутайте

Речь идет именно о противоположных углах: \(A\) и \(C\), \(B\) и \(D\). Соседние углы в обычном четырехугольнике не обязаны в сумме давать \(180^\circ\); это свойство относится к свойствам углов четырехугольника в целом только в другой формулировке и не является критерием вписанности.

Проверьте себя

Противоположные углы выпуклого четырехугольника равны \(65^\circ\) и \(115^\circ\). Что можно заключить?

Главное за минуту

Главное

У вписанного четырехугольника суммы противоположных углов равны \(180^\circ\).
Для выпуклого четырехугольника равенство \(\angle A+\angle C=180^\circ\) немесе \(\angle B+\angle D=180^\circ\) является критерием вписанности.
Проверяйте именно противоположные, а не соседние углы.