Задачи на хорды окружности

Хорда — один из самых часто встречающихся элементов задач об окружности. Чтобы уверенно решать такие задачи, нужно связывать длину хорды с радиусом, расстоянием от центра до хорды, центральным углом и произведениями отрезков пересекающихся хорд.

Основные понятия и свойства

[[circle-chord-properties:Хорда окружности]] — отрезок, соединяющий две точки окружности. Диаметр — хорда, проходящая через центр окружности; это самая длинная хорда. Любая другая хорда называется недиаметральной.

Поэтому в задачах с расстоянием до хорды почти всегда полезно обозначить её середину. Радиус, проведённый к концу хорды, образует прямоугольный треугольник с половиной хорды и расстоянием от центра.

Связь длины хорды с радиусом и расстоянием

Пусть радиус окружности равен \(R\), длина хорды \(AB\) равна \(a\), а расстояние от центра до хорды — \(d\). Обозначим середину хорды через \(H\). Тогда \(AH=\frac a2\), \(OH=d\), \(OA=R\), а треугольник \(OHA\) прямоугольный.

Эти формулы особенно полезны в задачах, где даны радиус и расстояние до хорды или радиус и длина хорды. Обратная задача — [[circle-radius-from-chord:нахождение радиуса по хорде и расстоянию до центра]] — решается тем же прямоугольным треугольником.

Центральный угол и длина хорды

Если концы хорды \(A\) и \(B\) соединены с центром \(O\), образуется равнобедренный треугольник \(AOB\). Пусть центральный угол \(\angle AOB=\alpha\). Проведём высоту \(OH\) к основанию \(AB\). Она делит угол пополам, поэтому \(\angle AOH=\frac\alpha2\).

Формула применяется, если угол выражен в градусах или радианах согласованно с условием. При \(\alpha=180^\circ\) получаем \(a=2R\), то есть диаметр. При одинаковом радиусе большая хорда соответствует большему меньшему центральному углу, не превышающему \(180^\circ\).

Связь хорды с дугой подробно рассматривается на странице [[circle-chord-and-arc:хорда и дуга окружности]]. Не следует путать центральный угол с вписанным: вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, в два раза меньше центрального.

Пересекающиеся хорды

Если две хорды \(AB\) и \(CD\) пересекаются внутри окружности в точке \(P\), образуются пары вертикальных углов. Важнее всего теорема о произведении отрезков.

Чтобы применить теорему, нужно внимательно определить четыре отрезка: на каждой хорде берутся расстояния от точки пересечения до обоих концов. Эта формула часто позволяет составить квадратное уравнение.

Разобранный пример

Ответ: \(PD=6\). Проверка: произведения равны \(PA\cdot PB=4\cdot9=36\) и \(PC\cdot PD=6\cdot6=36\).

Если неизвестны два отрезка, например \(PA=x\), \(PB=x+3\), а произведение другой пары равно \(40\), составляют уравнение \(x(x+3)=40\). После решения выбирают только положительное значение, поскольку длины отрезков положительны.

Алгоритм решения задач

1. Сделайте чертёж и отметьте центр окружности, хорду, радиусы и известные отрезки.
2. Если дано расстояние от центра до хорды, проведите перпендикуляр к хорде и обозначьте её середину.
3. Для задачи о длине хорды найдите прямоугольный треугольник с гипотенузой \(R\) и катетами \(d\) и \(\frac a2\).
4. Если дан центральный угол, используйте \(a=2R\sin\frac\alpha2\).
5. Если хорды пересекаются внутри окружности, примените равенство произведений отрезков.
6. Проверьте ответ: длина хорды не может превышать \(2R\), а все длины должны быть положительными.

В задачах о правильных многоугольниках хорды часто являются сторонами или диагоналями. Тогда полезно связать их с центром описанной окружности и обратиться к [[regular-polygon-problems:задачам на правильные многоугольники]]. Для фигур, где хорды являются диагоналями, могут пригодиться [[trapezoid-diagonal-problems:задачи на диагонали трапеции]] и [[rhombus-area-diagonal:площадь ромба через диагонали]].