Законы нуля и единицы
Законы нуля и единицы — это правила упрощения логических выражений, в которых участвуют константы 0 и 1. Они показывают, как конъюнкция и дизъюнкция изменяются при добавлении заведомо ложного или заведомо истинного высказывания.
Константа 1 обозначает истину, а константа 0 — ложь. Подробнее о них см. в статьях «Константа истины» и «Константа лжи». Конъюнкция обозначается знаком \(\land\) и соответствует операции «И», дизъюнкция — знаком \(\lor\) и соответствует операции «ИЛИ».
Формулы законов
Здесь \(A\) — любое логическое выражение, принимающее значение 0 или 1. Равенство означает равносильность: левая и правая части имеют одинаковые значения при любых значениях переменных.
Упростим выражение \((X \land 1) \lor 0\). Сначала применяем закон \(A \land 1=A\): получаем \(X \lor 0\). Затем применяем закон \(A \lor 0=A\). Ответ: \(X\). Например, если \(X=0\), исходное выражение равно 0; если \(X=1\), оно равно 1.
Правила зависят от знака операции. Выражение \(A \land 0\) равно 0, но \(A \lor 0\) равно \(A\). И наоборот, \(A \lor 1\) равно 1, а \(A \land 1\) равно \(A\). Нельзя заменять конъюнкцию дизъюнкцией без изменения закона.
Как упростить выражение \((P \lor 1) \land Q\)?
Главное
- \(A \land 0=0\) и \(A \lor 1=1\): ложь обнуляет конъюнкцию, а истина делает дизъюнкцию истинной.
- \(A \land 1=A\) и \(A \lor 0=A\): нейтральный элемент не изменяет значение выражения.
- При упрощении сначала определите операцию — \(\land\) или \(\lor\), — а затем применяйте соответствующий закон.