Закон идемпотентности
Закон идемпотентности утверждает: если одно и то же логическое высказывание соединить само с собой операцией И или ИЛИ, значение результата не изменится. Поэтому повторяющиеся части логического выражения можно сокращать.
Формулы закона
В первой формуле точка обозначает логическую операцию И, или конъюнкцию. Во второй используется операция ИЛИ, или дизъюнкция. Буква \(A\) может обозначать простое высказывание, например «число \(x\) больше 5», или целое сложное выражение.
Если одинаковая часть выражения повторяется рядом через И или ИЛИ, одну копию можно удалить. Например, \(A \cdot A \cdot B\) преобразуется в \(A \cdot B\), а \(A \lor A \lor B\) — в \(A \lor B\). Такие преобразования сохраняют значения выражения при любых значениях переменных и изучаются также в разделе законов логики.
Пусть \(A\) означает «лампа включена». Выражение \(A \lor A\) читается как «лампа включена или лампа включена». Оно истинно ровно тогда, когда истинно \(A\), поэтому \(A \lor A = A\). Аналогично, \(A \cdot A\) означает, что одно и то же условие выполнено дважды, и тоже равносильно \(A\).
Закон идемпотентности работает только при полном совпадении двух частей: \(A \lor A = A\) и \(A \cdot A = A\). Выражения \(A \lor (A \cdot B)\) и \(A \cdot (A \lor B)\) сокращаются по другим правилам — законам поглощения, а не по закону идемпотентности.
Как равносильно преобразуется выражение \(X \cdot X \lor Y\)?
Главное
- \(A \cdot A = A\): повторение высказывания через И не меняет его.
- \(A \lor A = A\): повторение высказывания через ИЛИ не меняет его.
- Правило применяют только к полностью одинаковым частям выражения.