Исключающее ИЛИ
Логическая операция, истинная только при одном истинном высказывании
Исключающее ИЛИ — логическая операция, результат которой истинен, если истинно ровно одно из двух высказываний. Если оба высказывания имеют одинаковое значение, результат ложен.
Исключающее ИЛИСимвол $\oplus$ напоминает знак сложения по модулю 2: результат зависит от нечётного числа истинных высказываний.
Исключающее ИЛИ — логическая связка, обозначаемая \(A \oplus B\), которая принимает значение 1 тогда и только тогда, когда значения высказываний \(A\) и \(B\) различаются. В речи её можно передать словами «либо ..., либо ..., но не оба одновременно».
Формула и таблица истинности
\[A \oplus B = (A \land \neg B) \lor (\neg A \land B)\]
В формуле используются конъюнкция, негация и дизъюнкция. Операция \(A \oplus B\) также равна сумме \(A+B\) по модулю 2: при двух единицах получается 0.
| A | B | \(A \oplus B\) |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
№
Пример
Пусть \(A\) означает «переключатель 1 включён», а \(B\) — «переключатель 2 включён». Лампа при исключающем ИЛИ горит, когда включён только один переключатель: \(1 \oplus 0=1\), но \(1 \oplus 1=0\).
!
Не путайте с обычным ИЛИ
Обычная дизъюнкция истинна, если истинно хотя бы одно высказывание, поэтому \(1 \lor 1=1\). Для исключающего ИЛИ два истинных высказывания дают ложь: \(1 \oplus 1=0\).
Проверь себя
Чему равно \(0 \oplus 1\)?
Оба значения не совпадают, поэтому результат не может быть 0.
Истинно ровно одно из двух высказываний.
Значения обоих высказываний известны.
Главное за минуту
Главное
- Исключающее ИЛИ истинно, когда истинно ровно одно высказывание.
- Обозначение операции: \(A \oplus B\); она даёт 0 при \(00\) и \(11\), а 1 при \(01\) и \(10\).
- В отличие от обычного ИЛИ, исключающее ИЛИ не допускает одновременную истинность обоих высказываний.