Умножение в системах счисления
Умножение в системе счисления выполняют почти так же, как в десятичной: поразрядно, справа налево, записывая цифру результата и перенося лишние единицы в следующий разряд. Отличие состоит в том, что перенос происходит при достижении основания системы, а не обязательно при достижении 10.
Правило удобно применять после изучения сложения в системах счисления; умножение столбиком является его расширением и рассматривается на странице умножение столбиком в системе счисления. Записывают числа одно под другим, выравнивая разряды. Затем умножают цифру верхнего числа на цифру нижнего, прибавляют перенос из предыдущего разряда и разделяют результат на цифру и перенос.
Здесь \(b\) — основание системы, \(p\) — произведение цифр с учётом предыдущего переноса, \(r\) — цифра, записываемая в текущем разряде, а \(q\) — перенос в следующий разряд. После обработки последнего разряда ненулевой перенос записывают слева.
Вычислим \(243_5\cdot3_5\). Справа налево: \(3\cdot3=9=1\cdot5+4\) — пишем 4, переносим 1; \(4\cdot3+1=13=2\cdot5+3\) — пишем 3, переносим 2; \(2\cdot3+2=8=1\cdot5+3\) — пишем 3, переносим 1. Жауабы: \(243_5\cdot3_5=1334_5\).
Перенос определяется основанием системы. В двоичной системе любое значение 2 превращается в перенос, в восьмеричной — значение 8, а в шестнадцатеричной — значение 16. Нельзя автоматически переносить после десятка: это верно только для десятичной системы.
Если множитель имеет несколько цифр, для каждой его цифры получают отдельную строку произведения. Каждую следующую строку сдвигают на один разряд влево, затем складывают строки с переносами. Нулевой разряд при этом не пропускают: он сохраняет правильное положение цифр.
Какой перенос получится при вычислении \(4_5\cdot3_5\)?
Главное
- Умножайте справа налево и учитывайте перенос из предыдущего разряда.
- Для основания \(b\) результат каждого шага представляют как \(p=qb+r\), где \(r\) записывают, а \(q\) переносят.
- Перенос зависит от основания системы: он появляется при выделении целых групп по \(b\) единиц.