Преобразование эквивалентности
Преобразование эквивалентности — это замена операции \(A \leftrightarrow B\) равносильным выражением, составленным из конъюнкции, дизъюнкции, отрицания и импликации. Такая замена нужна, когда в выражении должны остаться только разрешённые логические операции.
Основные формулы
Эквивалентность истинна, когда оба высказывания имеют одинаковые значения: оба истинны или оба ложны. Поэтому её можно записать как дизъюнкцию двух случаев: оба высказывания истинны либо оба ложны.
Через импликации эквивалентность выражается как одновременная истинность прямого и обратного следования. Это удобно при преобразовании логических выражений.
Если нужны только конъюнкция, дизъюнкция и отрицание, используют другую равносильную форму:
Преобразуем \(x \leftrightarrow y\) через импликации: \(x \leftrightarrow y \equiv (x \to y) \land (y \to x)\). Если \(x=1\), \(y=1\), обе импликации истинны, поэтому результат равен \(1\). Если \(x=1\), \(y=0\), первая импликация ложна, и вся конъюнкция равна \(0\).
Эквивалентность истинна при одинаковых значениях переменных, а исключающая дизъюнкция — при разных. Для двух переменных эквивалентность является отрицанием исключающей дизъюнкции. О самой операции сначала можно прочитать на странице «Эквивалентность», а о дизъюнкции — на странице «Дизъюнкция».
Какая формула равносильна \(A \leftrightarrow B\)?
Главное
- \(A \leftrightarrow B\) истинно, когда \(A\) и \(B\) имеют одинаковые значения.
- Основные замены: \((A \land B) \lor (\neg A \land \neg B)\) и \((A \to B) \land (B \to A)\).
- При преобразовании сохраняйте скобки и не заменяйте эквивалентность обычной дизъюнкцией.