ЕГЭОГЭ
РУҚА
Тапсырма № 23 · ЕГЭ

Минимальное логическое выражение

Равносильная формула с наименьшим числом операций и переменных
3 мин чтенияҚиындық: Обновлено 29 қыркүйек 2026

Минимальное логическое выражение — это равносильное исходному выражение, в котором используют меньше логических операций и, по возможности, меньше переменных. Его получают преобразованиями по законам булевой алгебры и используют, чтобы упростить вычисления и решение задач.

Минимальное логическое выражениеСлово «минимальное» означает «наименьшее»; в данном случае речь идёт о сложности записи или вычисления.
Логическое выражение, равносильное исходному и имеющее минимальную сложность по выбранному критерию: числу операций, входов операций или переменных. Минимизация выполняется средствами равносильных логических выражений и является частью преобразования логических выражений.

Как понимают минимальность

Одно и то же выражение можно оценивать по разным критериям. Обычно стремятся уменьшить число операций НЕ, И, ИЛИ, а также число повторений переменных. Иногда важнее только количество скобок или глубина вычисления. Поэтому у одной булевой функции могут существовать разные минимальные формы, если критерий минимизации не задан.

\[F(A,B)=A\cdot B\lor A\cdot \overline{B}=A\cdot(B\lor\overline{B})=A.\]

В формуле использован закон исключённого третьего: \(B\lor\overline{B}=1\), поэтому \(A\cdot1=A\). Исходная запись содержит две конъюнкции, дизъюнкцию и отрицание, а минимальная — только одну переменную.

№
Пример минимизации

Упростим \(X\lor(X\cdot Y)\). По закону поглощения \(X\lor(X\cdot Y)=X\). Значит, минимальное выражение — \(X\): значение \(Y\) на результат не влияет.

!
Не путайте с равносильным выражением

Любое минимальное выражение является равносильным исходному, но не каждое равносильное выражение минимально. Например, \(A\lor A\) и \(A\) равносильны, однако первое содержит лишнюю операцию. Также минимальное выражение не обязательно выглядит единственным возможным способом.

Проверьте себя

Какое выражение является минимальным для \(P\cdot Q\lor P\cdot\overline{Q}\)?

Главное за минуту

Главное

  • Минимальное логическое выражение равносильно исходному, но имеет меньшую сложность по выбранному критерию.
  • Для минимизации применяют законы булевой алгебры: вынесение общего множителя, поглощение, исключённый третий и другие.
  • Минимальная форма может быть не единственной; важно сохранить равносильность выражений.